Ueber die Bewegung von Punkten auf gegebenen Flächen und Curven. (Q1549757)

Wenn die Bewegung eines Punktes an eine Curve oder Fläche gebunden ist, so lassen sich oft höchst zweckmässig krummlinige Coordinaten der Behandlung zu Grunde legen. Als solche sind eingeführt worden die Grössen \(q_1, q_2, q_3\) durch die Gleichungen \[ \begin{aligned} & q_1 = f_1(x,y,z)\\ & q_2 = f_2(x,y,z)\\ & q_3 = f_3(x,y,z)\end{aligned} \] so dass, wenn eine der Coordinaten constant, die anderen beiden als Functionen der Zeit aufgefasst werden, die Bewegung auf einer Fläche vor sich geht, auf einer Curve aber, wenn zwei der Coordinaten als unveränderlich gedacht werden. Eine wichtige Rolle bei einem derartigen Coordinatensystem spielt die Grösse \[ h_n = \sqrt{ \left( \frac{\partial q_n}{\partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial q_n}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial q_n}{\partial z}\right)^2 }, \] welche Lamé Differentialparameter der ersten Ordnung von der entsprechenden Function \(q_n\) genannt hat. So oft nun die Bewegung eines Punktes auf einer festgesetzten Curve erfolgt und die tangentielle Beschleunigung, welche im Allgemeinen eine Function der Lage, der Geschwindigkeit und der Zeit sein wird, durch die Coordinaten \(q_n\) und durch ihre Diffrentialquotienten nach der Zeit \(q'_n\) und durch die Zeit allein, ferner auch die Grössen \(h_n\) durch \(q_n\) allein ausgedrückt werden können, ist die Bewegung durch eine einzige Differentialgleichung gegeben, welche im Anschluss an die Somow'sche Kinematik aufgestellt wird. Diese Diffrentialgleichung ist immer integrirbar, sofern die Tangentialbeschleunigung eines Punktes eine Function der Lage, d.h. der Coordinaten allein ist. Als Beispiel wird die Bewegung eines schweren Punktes auf einer Krümmungslinie eines Ellipsoides behandelt. Ist ein Punkt an eine Fläche gebunden, so sind für die Bewegung desselben zwei Differentialgleichungen aufzustellen. Die allgemeinen Formen derselben werden auf die Bewegung eines materiellen Punktes angewendet, der auf einem abgeplatteten Rotationsellipsoid, dessen Axe in die Richtung der Schwere fällt, zu verbleiben genötigt ist, und auf den Fall, wo die Bewegung auf einem gegen die vertikale Richtung geneigten Cylinder unter dem Einfluss der Schwere vor sich geht.