Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche. (Q1549816)

Wenn das Potential von symmetrisch um eine Axe verteilten Massen für Punkte der Axe gegeben ist, so erhält man das Potential für einen beliebigen Punkt des Raumes durch eine complexe Integration des analytischen Ausdruckes für das Potential auf der Axe. Die vorliegende Arbeit zeigt nun, dass man, als ein Seitenstück zu jenem bekannten Satze, das Potential von Massen, die in einer Ebene symmetrisch um einen Punkt verteilt sind, für einen beliebigen Punkt durch Quadraturen darstellen kann, sobald es für Punkte jener Ebene bekannt ist, sei es für alle Punkte derselben oder doch für die mit Masse erfüllten. Sind \(z\) und \(u\) die Coordinaten eines beliebigen Punktes parallel und rechtwinklig zur Symmetrieaxe, so erhält man für das Potential \(V\) und für die vom Verfasser als associirt bezeichnete Function (F. d. M. X. 1878. 663, JFM 10.0663.01) die Ausdrücke \[ V = \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{\mp zs} J_0(st)v(t) stdsdt, \] \[ W=\pm u\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{\mp zs} J'_0(us) J_0(st) v(t)stdsdt, \] wo \(v(t)\) das Potential in der Ebene der Massen für die Punkte bedeutet, in denen \(u = t\), wo ferner die oberen resp. unteren Zeichen zu nehmen sind, je nachdem \(z \gtrless 0\). Wenn \(v\) nur für die Punkte der mit Masse belegten Scheibe vom Radius \(a\) gegeben ist, so wird die Lösung durch folgende bereits früher vom Verfasser gefundenen Relationen vermittelt: \[ F(u)= \frac 2 \pi \int_0^u \frac{v(t)tdt}{\sqrt {u^2-t^2}},\quad M(u)=\int_u^a \frac {F'(s)sds}{\sqrt{ s^2-u^2}}, \] wo \(M(u)\) die Masse auf der Scheibe zwischen ihrem Rande und dem Kreise mit dem Radius \(u\) bedeutet. Diese Principien sind nun die gemeinsame Quelle für eine Fülle von interessanten, zum Teil neuen Relationen, bezüglich deren auf die Abhandlung zu verweisen ist.