On the integration of the differential equations of the dioptric of the continuously layered spherical crystal lenses of fishes (Q1549883)

Der Verfasser hatte bereits früher (cf. F. d. M. XI. 1879. p. 748 (JFM 11.0748.01)) Differentialgleichungen aufgestellt zur Bestimmung der Brennweiten,Hauptpunktdistanzen und Hauptpunktinterstitien eines centrirten Systems brechender sphärischer Flächen von continuirlich variabler Dichtigkeit, wenn dasselbe von zwei Medien begrenzt ist, welche mit der Trennungsfläche gleiche Brechungsvermögen besitzen. Er hatte dann diese Differentialgleichungen integrirt unter folgender Annahme für die Aenderung des Krümmungsradius und des Brechungsexponenten: \[ r =\frac {b - \eta}{b} r_1, \quad n = 1 + \zeta \frac {2b \eta - \eta^2}{b^2}. \] Dabei ist \(r\) der Krümmungsradius, \(n\) der Brechungsexponent einer Fläche in der Entfernung \(\eta\) von der äussersten Fläche, \(r_1\) ist der Radius der äussersten Fläche, für welche \(n = 1\) ist; \(b\) ist der Abstand der äussersten Fläche vom Kerncentrum der Linse; endlich ist \(1 + \zeta\) der Index des Kerncentrums. Bei diesen Annahmen über \(r\) und \(n\), die für die Krystallinse aller Wirbeltiere gelten, werden die gesuchten Grössen (Brennweite etc. des aus einer beliebigen Zahl der Flächen bestehenden Systems) algebraische Functionen von \(\eta\); und daraus ergeben sich physiologisch wichtige Folgerungen. An diese Resultate seiner früheren Arbeit knüpft nun der Verfasser direct an, indem er zu den schon genannten Annahmen die weitere hinzufügt, dass die Linse kugelförmig, also \(b = r_1\) ist eine Annahme, die bei den Fischen durchweg zutrifft. Er zeigt dann, wie sich die oben erwähnten Differentialgleichungen ohne das umständliche Verfahren der früheren Arbeit direct integriren lassen durch Reihen, die nach Potenzen der kleinen Grösse \(\zeta\) fortschreiten; dabei wird \(\zeta^3\) gegen die Einheit vernachlässigt. Indem in den Resultaten, die für einen beliebigen Teil der brechenden Kugel gelten, die Variable \(\eta = 2 r_1\) gesetzt wird, ergeben sich die Orte für die Cardinalpunkte der Axenstrahlen der ganzen Linse. Im zweiten Teile bestimmt der Verfasser die Trajectorie eines beliebigen schief in die Linse einfallenden Lichtstrahls innerhalb derselben. Es wird die Differentialgleichung der Trajectorie für ein beliebiges Gesetz der Abhängigkeit zwischen \(\eta\) und \(n\) aufgestellt und dieselbe dann unter der obigen Annahme über \(n\) (sowie auch allgemeiner für den Fall, dass an Stelle der zweiten Potenzen von \(r_1 - \eta\) höhere Potenzen treten) wieder durch Reihen integrirt, die nach Potenzen von \(\zeta\) fortschreiten. Als hauptsächlichstes Resultat der Discussion ergiebt sich, dass Linsen der fraglichen Art sehr nahe aplanatisch sind, auch bei grösserem Gesichtsfelde.