L'arithmétique des Grecs dans Pappus. (Q1550124)

Bekanntlich kennt man seit Wallis auch von dem früher verloren geglaubten zweiten Buch der ``Mathematica collectio'' ein kleines Bruchstück, welches von dem Zahlensystem des Pergäers Apollonius handelt. Herr Tannery bespricht dieses Fragment eingehend, mit besonderer Berücksichtigung der von Nesselmann und Hultsch vorgeschlagenen Correcturen; Apollonius, so glaubt er, werde die Beweise seiner Sätze gewiss nicht blos numerisch, sondern rein geometrisch gegeben haben. An die Reihe kommt sodann das von Pappus in so herber Weise zurückgewiesene Verfahren zur Auffindung zweier mittlerer Proportionalen: Der Verfasser kommt auf anderem Wege zu dem in des Referenten: ``Antike Näherungsmethoden im Lichte moderner Mathematik'' (Prag 1878) erzielten Resultate, dass man es hier mit einem ganz sinnreichen Näherungsverfahren zu thun hat. Weiterhin discutirt der Verfasser die bei Pappus aufgezählten verschiedenen Proportionsformen, sechs an der Zahl. Sehr scharfsinnig löst er bei dieser Gelegenheit auch noch eine andere viel umstrittene Frage. So wenig es nämlich einem Zweifel unterliegt, dass kein griechischer Mathematiker mit negativen Gleichungswurzeln etwas anzufangen wusste, so war doch unentschieden, ob man die Doppelwurzel auch dann vernachlässigte, wenn beide Werthe positiv blieben. Das grosse Werk des Diophant bringt sonderbarerweise keine bestimmten Belege in dieser Hinsicht bei. Wohl aber thut dies in gewissem Sinne die Proportionenlehre bei Pappus, und zwar scheint sowohl dieser hervorragende Mann als auch sein minder bedeutender Vorgänger Nicomachus von Gerasa der Existenz positiver Doppelwurzeln sich wohl bewusst gewesen zu sein. Zu notiren möchte noch sein, dass eine von den Uebersetzern Commandin und Hultsch urgirte Lücke des Textes betreffs der arithmetischen Medietät dem Urtheile Tannery's zufolge nicht wirklich eine Lücke ist. Den Schluss des Aufsatzes bildet eine gedrängte Skizze des Gesammtinhaltes altgriechischer Zahlenwissenschaft. Diophant erscheint zwar als ein durchaus origineller Forscher, allein bei genauerem Zusehen wurzelt doch seine ganze Thätigkeit in den Leistungen einer früheren Zeit. Gewisse unbestimmte Gleichungen haben bereits die Alten betrachtet, so Platon die Gleichung \(2x^2-y^2=\pm 1\) und Archimedes bei seiner Kreismessung die Gleichungen \(3x^2-y^2=-1\) und \(3x^2-y^2=2\). Ebenso ist Diophant von Heron und Hypsicles nicht unwesentlich beeinflusst. Auch über das sogenannte ``Ochsenproblem'' des Archimedes werden neue Nachweisungen beigebracht, aus denen soviel erhellt, dass schon in vorchristlicher Zeit eine unbestimmte Analytik von nicht unerheblicher Ausdehnung existirte, und dass somit das Feld, auf welchem Diophant so grosse Erfolge errang, kein so ganz unbebautes gewesen sein kann, wie gewöhnlich angenommen wird.