Sur la détermination d'une limite supérieure des racines d'une équation et sur la séparation des racines. (Q1550186)

Ist \[ f(x)\equiv a_0 x^m + a_1x^{m-1} + \cdots + a_m = 0 \] die gegebene Gleichung, und macht \(\alpha\) alle Glieder der Reihe \[ f_m(x) = a_0, \quad f_{m-1}(x)=a_0x+a_1, \quad f_{m-2}(x) = a_0x^2 + a_1 x + a_2, \ldots \] \[ f(x) = a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + \cdots + a_m \] positiv, so ist \(\alpha\) eine obere Grenze für die Wurzeln; in der Newton'schen Regel werden die obigen Functionen \(f_m, f_{m-1}, \ldots f_1,f\) durch die entsprechenden Ableitungen \(f^{(m)}, f^{(m-1)}, \ldots, f', f\) ersetzt. Die Anzahl der für \(\beta\) vorhandenen Zeichenwechsel der obigen Reihe ist gleich der Anzahl der reellen Wurzeln \(>\beta\) oder um eine grade Zahl kleiner. Noch eine zweite Regel, für die Bestimmung der oberen Grenze der Anzahl reeller Wurzeln zwischen \(\alpha\) und \(\beta\), wird gegeben: Sind \(\alpha\) und \(\beta\) zwei positive Zahlen, \[ c_0+c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_{m-2}x^{m-2} \] der ganze Theil des Quotienten \(f(x):(x-\alpha) (x- \beta)\), so ist die Anzahl der reellen Wurzeln der Gleichung \(f(x)=0\), welche zwischen \(\alpha\) und \(\beta\) liegen, entweder gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe \[ f(\alpha),\quad f(\beta)-\beta (\beta - \alpha)c_0,\quad f(\beta) - \beta^2.(\beta-\alpha)c_1, \ldots \] \[ f(\beta)-\beta ^{m-1} (\beta-\alpha) c_{m-2}, f(\beta) \] oder um eine grade Anzahl geringer als diese Anzahl.