On the motion of two spheres in a fluid. (Q1550221)

Der Verfasser bemerkt, dass die allgemeine Theorie der Bewegung eines einzelnen festen Körpers in einer unbegrenzten incompressiblen Flüssigkeit wohlbekannt ist, hauptsächlich durch die Bücher von Thomson und Tait, sowie von Kirchhoff. Man ist demnach im Stande, die Resultate numerisch zu berechnen für den Fall der Kugel, des Ellipsoids und für eine grosse Zahl von Cylinderflächen. Aber die Theorie der Bewegung von zwei oder mehr Körpern in einer Flüssigkeit ist naturgemäss noch nicht soweit entwickelt, und man ist noch im Stande, die Form der betreffenden Ausdrücke für irgend welche speciellen Körper zu bestimmen. Der Verfasser verweist insbesondere auf eine Arbeit von Stokes ``On some cases of fluid motion'', die schon 1843 in den Cambr. Phil. Trans. veröffentlicht ist, aber den Mathematikern auf dem Continente wenig bekannt geworden zu sein scheint. Er bespricht sodann die Untersuchungen über die Bewegung einer oder mehrerer Kugeln und erwähnt von andern Fällen das von Kirchhoff behandelte Problem der Bewegung zweier unendlich dünner Ringe. Schliesslich erwähnt er seine eigne Arbeit über das Problem der Bewegung zweier Cylinder mit parallelen Axen (cfr. F.d.M. X. 1878. p. 646 (JFM 10.0646.02), XI. 1879. p. 676 (JFM 11.0676.01)). Er hat das Geschwindigkeitspotential für die Bewegung der beiden Cylinder in Form bestimmter Integrale ausgedrückt, die sich für den Fall, wo die Cylinder sich als starre Körper bewegen, mittels bipolarer Coordinatan durch elliptische Functionen ausdr\"cken lassen. Die in dem Ausdruck für die Energie in den Coefficienten der Geschwindigkeit vorkommenden Functionen sind ganz analog den für zwei Kugeln, auf die vorliegende Arbeit führt. Was nun die vorliegende Arbeit selbst betrifft, so wird zunächst das Geschwindigkeitspotential gesucht für die Bewegung einer Flüssigkeit, in der sich eine unbeweglich Kugel befindet, während zugleich irged eine Quelle der Bewegung in der Flüssigkeit vorhanden ist. Es wird nun der Begriff des `` Bildes der Quelle '' eingeführt, d. h. es wird eine neue Quelle der Bewegung innerhalb der Kugel angenommen von der Beschaffenheit, dass die von dieser ausserhalb der Kugel hervorgebrachte Bewegung zusammen mit der von der ursprünglichen Quelle herrührenden Bewegung an der Kugelfläche selbst keine Componente senkrecht zur Kugelfl''ache giebt. Mit andern Worten, es wird eine positive oder negative Quelle von gewisser Grösse bestimmt, die an der Kugeloberfläche eine normale Bewegung der Flüssigkeit hervorbringt gleich und entgegengesetzt der von der äusseren Quelle herrührenden normalen Bewegung. Ist dies ``Bild'' gefunden, so ist auch der Weg zur Ermittelung des Geschwindigkeitspotentials für den Fall, dass zwei feste Kugeln sich in der Flüssigkeit befinden, gegeben. Denkt man sich dann noch über die Oberflächen beider Kugeln Quellen vertheilt, die proportional sind der normalen Bewegung der Oberfläche in dem betrachten Punkte, so kann man auch das Geschwindigkeitspotential bestimmen, wenn die Kugeln sich irgend wie bewegen. Die nötigen analytischen Entwicklungen ergeben sich vollständig aus der Methode der Bilder.