Sur l'équilibre des surfaces flexibles et inextensibles. (Q1550278)

Bei einer im Gleichgewicht befindlichen vollständig biegsamen und unausdehnbaren Fläche, auf welche in jedem ihrer Punkte Kräfte von der Grössenordnung der entsprechenden Elemente wirken, sind in einem gegebenen Punkte die tangentialen Spannungscomponenten auf zwei sich rechtwinklig schneidenden Linienelementen einander gleich. Das Gesetz der Spannungsänderungen für die Elemente, welche durch denselben Punkt gehen, ist ganz analog dem Aenderungsgesetze normaler Krümmungen. Wenn man von einem Punkte aus auf jeder Tangente eine Länge abträgt, welche umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der Spannung ist, erhält man die Indicatrix der Spannungen. Irgend eine Richtung und die zugehörigen Spannungen sind in Bezug auf die Indicatrix der Spannungen conjugirt. In jedem Punkte schneiden sich zwei rechtwinklige Richtungen, welche senkrecht zu den entsprechenden Spannungen sind. Zwei orthogonale Curvenschaaren werden über die Fläche ausgespannt. Die drei nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für das Gleichgewicht sind dann: \[ \frac{\partial n_2}{\partial s_1} - \frac{\partial t}{\partial s_2} + \frac{n_1 - n_2}{\varrho_2} + \frac{2t}{\varrho_1} = F_1, \] \[ \frac{\partial n_1}{\partial s_2} - \frac{\partial t}{\partial s_1} + \frac{n_2-n_1}{\varrho_1} + \frac{2t}{\varrho_2} = F_2, \] \[ \frac{n_1}{R_2} + \frac{n_2}{R_1} - \frac{2t}{T} = \varPhi. \] \(R_1\), \(\varrho_1\) sind die reciproken Werthe der normalen und der tangentialen Krümmung der einen Curvenschaar, \(R_2\), \(\varrho_2\) die der anderen Curvenschaar, \(T\) der reciproke Werth der den beiden Schaaren gemeinsamen Torsion. \(F_1\), \(F_2\), \(\varPhi\) bedeuten die Componenten der äusseren Kraft nach den Tangenten der beiden Curvenschaaren und nach der Normalen der Oberfläche, \(n_1\) und \(n_2\) sind die zu den Curvenschaaren normalen Componenten der Spannung, \(t\) ist die für beide Richtungen gleiche tangentiale Spannungscomponente. Die Spannungen kann man aus den Gleichungen nicht eliminiren. Diese unterscheiden sich nur in den zweiten Gliedern von denen, welche die durch eine unendlich kleine Deformation der Oberfläche erzeugten Variationen von \(\frac{1}{R_1}\), \(\frac{1}{R_2}\), \(\frac 1T\) geben. Die allgemeine Lösung ist daher auf die Untersuchungen unendlich kleiner Deformationen zurückgeführt, sobald eine particuläre Lösung bekannt ist. Durch Einführung der neuen Variabeln \[ n_1' = n_1 - \frac{a}{R_1}, \quad n_2' = n_2 - \frac{a}{R_2}, \quad t' = t-\frac aT, \] wenn \(a\) durch die Gleichung bestimmt ist: \[ 2a \left( \frac{1}{R_1 R_2} - \frac{1}{T^2} \right) = \varPhi, \] welche die developpabeln Oberflächen ausschliesst, erhält man den Satz: ``Die asymptotischen Richtungen sind zwei conjugirte Richtungen der Indicatrix der Spannungen'', oder anders ausgedrückt: ``Die in einer asymptotischen Linie wirkenden Spannungen sind Tangenten an die asymptotischen Linien des anderen Systems.'' Die Gleichungen für das Gleichgewicht werden in Bezug auf diese asymptotischen Linien gegeben, und es wird darauf hingewiesen, dass für Regelflächen die Trennung der Unbekannten unmittelbar ausgeführt werden kann.