Zur Fresnel'schen Theorie der Diffraction. (Q1550303)

Die vorliegende Arbeit behandelt auf kürzerem Wege dasselbe Problem, das eine frühere Arbeit desselben Verfassers (cf. F. d. M. X. 1878, p. 702, JFM 10.0702.02) auf umständlicherem Wege gelöst hatte, nämlich die Ableitung der Grundgleichung der Diffractionserscheinungen aus der Elasticitätstheorie. Zunächst wird kurz erörtert, dass der Fehler Fresnel's in einer falschen Berechnungsart der Wirkung einer leuchtenden Fläche liegt, oder noch allgemeiner in der Unhaltbarkeit des Princips von der Coexistenz kleiner Bewegungen in der gewöhnlichen Form. Sodann wird gezeigt, dass sich das Problem der Diffraction für den Fall, wo das aus grosser Entfernung kommende Licht durch eine in einem ebenen Schirm befindliche Oeffnung hindurchgeht, während der Schirm normal zur Richtung dre Lichtstrahlen ist, durch das folgende ersetzen lässt, indem man die Punkte der Oeffnung als leuchtend substituirt: Es ist zu bestimmen der Schwingungszustand im Mittelpunkte einer Kugel, wenn derselbe für ihre Oberfläche als Function der Zeit gegeben und im Anfang im ganzen Innern der Kugel Ruhe ist. Dies Problem wird folgendermassen behandelt. Ist das Medium incompressibel, so genügt jede der Componenten der Verrückung der Gleichung \[ \frac{\partial ^2 f}{\partial t^2} = a^2 \varDelta f. \] Man transformire diese Gleichung auf räumliche Polarcoordinaten und betrachte nur den Mittelwerth von \(f\) auf einer um den Anfangspunkt beschriebenen Kugelfläche (den gesuchten Werth im Anfangspunkte kann man auch als einen solchen Mittelwerth für eine unendlich kleine Kugel ansehen). Dieser Mittelwerth ist nur von der Zeit und dem Kugelradius abhängig; die für denselben geltende Differentialgleichung lässt sich nach der Riemann'schen Methode (cf. das vorige Referat) behandeln und führt, wenn man den gegebenen Schwingungszustand der Oeffnung als eine einfache periodische Function der Zeit annimmt, auf die Fresnel'sche Diffractionsgleichung, aber mit der richtigen Phase \[ \left( \text{d. h. ohne die falsche Fresnel'sche Phasenverzögerung von } \frac{\pi}{2} \right). \] In einem Zusatze wird gezeigt, wie ausserordentlich kurz sich durch die hier angewandte Methode das allgemeine Problem lösen lässt, den Zustand eines unbegrenzten Mediums zu bestimmen, wenn in demselben zu Anfang beliebige Verrückungen und Geschwindigkeiten vorhanden sind, aber sonst keine Kräft wirken.