On the Newton-Fourier imaginary problem. (Q1550646)

Der Newton'sche Weg zur Annäherung an die Wurzel einer numerischen Gleichung \(f(u)=0\) besteht in der Herleitung eines neuen Werthes \(x_1=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\) aus einer angenommenen angenäherten Wurzel \(x\). Dieser Werth soll eine grössere Näherung an die gesuchte Wurzel geben. Es mögen nun die Coefficienten von \(f(u)\) reell sein und ebenso die gesuchte Wurzel und der angenommene Werthe \(x\). Fourier hat die Bedingungen untersucht, unter denen \(x\), in der That eine grössere Näherung giebt. Herr Cayley behandelt die Frage in allgemeinerer Art, so dass \(x\) einen reellen oder imaginären Werth haben kann, und untersucht, in welchen Fällen die Reihen abgeleiteter Werthe \[ x_1=x-\frac{f(x)}{f'(x)},\quad x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)},\dots \] gegen eine Relle oder imaginäre Wurzel der Gleichung \(f(u)=0\) convergiren. Die Lösung im Fall der quadratischen Gleichung ist leicht. Herr Cayley bemerkt indess, dass es ihm nicht geglückt ist, die Sache im Falle einer cubischen Gleicgung zu erledigen.