Application of the Newton-Fourier method of an imaginary root of an equation. (Q1550647)

Ist \(a\) ein Näherungswerth einer Wurzel von \(x^2=n\), so ist \(a_1=\frac{a^2+n}{2a}\) ein zweiter Näherungwerth. Es wird eine auf die geometrische Construction von \(a_1\) gegründete Untersuchung derüber gegeben, innerhalb welcher Theile der \(x\)-Ebene \(a\) liegen muss, damit jeder folgende Näherungswerth dem wahren Werthe \(\sqrt n\) näher sei, als der vorhergehende. Es findet dies statt, wenn \[ \mod.(a-\sqrt n)<\frac23\mod.n \] ist; geht man von einem Werthe \(a\) aus, für den \[ \mod.(a-\sqrt n)<\bmod.(a+\sqrt n) \] gilt, so gelangt man zu Näherungswerthen, welche der ersteren Bedingung genügen.