Sur une application de la mécanique rationnelle à la théorie des équations. (Q1550648)

\(F(x)=0\) sei eine algebraische Gleichung \(p^{\text{ten}}\) Grades, deren Coefficienten reell oder imaginär sein können. Die Wurzeln \(z_1\dots z_p\) denke man sich in der \(xy\)-Ebene durch Punkte \((z=x+iy)\) repräsentirt, und jeden dieser Punkte mit der Masseneinheit belegt; einen anderen Punkt \(z\) von der nämlichen Masse sollen sie mit Kräften abstossen, die im umgekehrten Verhältnis ihrer Entfernungen von diesem Punkte stehen. Für die Lage, in welcher der Punkt \(z\) im Gleichgewichte bleibt, erhält man die Gleichung \[ \sum_\alpha\frac1{z-z_\alpha}=\frac{F'(z)}{F(z)},\quad \text{also}\quad F'(z)=0; \] \(z\) muss mithin mit einer Wurzel der abgeleiteten Gleichung zusammenfallen. Liegen alle Wurzelpunkte auf einer Seite einer Geraden, so muss auch der in der Gleichgewichtslage befindliche Punkt \(z\) auf derselben Seite der Geraden liegen, da er sonst nothwendig abgestossen würde. Daraus folgt der algebraische Satz, dass jede geschlossene convexe Linie, welche die Gruppe der Wurzelpunkte einer Gleichung umschliesst, auch die Gruppe der Wurzeln der abgeleiteten Gleichung umschliessen muss, und insbesondere der Satz: ''Wenn die Wurzelpunkte einer Gliechung in gerader Linie liegen, so enthält diese Geraden auch die der abgeleiteten Gleichung, und zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wurzeln einer Gleichung liegt nothwendig eine Wurzel der abgeleiteten Gleichung.'' Setzt man \[ F(z)=X+iY=R(\cos\varOmega+i\sin\varOmega), \] so führt der Umstand, dass in der Gleichgewichtslage die Componenten der Resultante (die rellen und imaginären Theil von \(F'(z):F(z)\)) einzeln verschwinden müssen, zu dem Satze, dass die Coordinanten jedes Wurzelpunktes der abgeleiteten Gleichung jede der vier Grössen \(R,\varOmega, X, Y\) zu einem Maximum oder Minimum machen.