Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. (Q1550660)

Ueberträgt man in bekannter Weise durch Radiivectoren ein Octaeder auf die Ebene der \(x,y\), wobei \(\xi_1:\xi_2=x+yi\) ist, so erhält man für dasselbe die Gleichung \(F\equiv\xi_1\xi_2(\xi_1^4-\xi_2^4)=0\) mit der Hesse'schen Form \(H\) und der Jacobi'schen \(T\). Ausser den 6 Octaederecken \((F)\) liefern die Symmetrieebenen noch 8 symmetrisch vertheilte Punkte \((H)\), welche den Mittelpunkten der Seitenflächen, und 12 Punkte \((T)\), welche den Kantenmittelpunkten von \(F\) entsprechen. Die Rotationen um die hierdurch gelieferten Axen geben die 24 Octaeder- und die 12 Tetraeder-Substitutionen, von denen die letzteren sich auf die beiden in \((H)\) enthaltenen Tetraeder beziehen. Durch dieselben Betrachtungen erhellt die Vollständigkeit des Formensystems \(F,H,T\), sowie, dass \(T^2=H^2-108F^4\) ist, und endlich folgt daraus die analytische Darstellung der Substitutionen. Hieraus ergiebt sich dann erstens die algebraische Lösung der Octaedergleichung, zweitens die Lösung durch hypergeometrische Reihen; \[ \frac{H^3(\xi_1\xi_2)}{108F^4(\xi_1\xi_2)}=X \] wird durch \(\frac{\xi_1}{\xi_2}=\frac{\eta_1(X)}{\eta_2(X)}\) befriedigt, wenn \(\eta_1,\eta_2\) zwei passend gewählte hypergeometrische Reihen sind. Die Gleichung dritten Grades, deren Wurzeln \[ \psi-1=r\xi_1^2\xi_2^2,\psi_2=(\xi_1^2-\xi_2^2)^2,\psi_3=-(\xi_1^2+\xi_2^2)^2 \] die drei Hauptaxen des Octaeders sind, hat die Form \[ \psi^2-H\psi+4F^2=0; \] hierdurch wird die Lösung der allgemeinen Gleichung dritten Grades gewonnen. Diejenige der Gleichung vierten Grades wird durch die Congruenz der Substitutionsgruppen beim Octaeder und bei der Gleichung vierten Grades \(y^4+Ay+B=0\) geliefert; die vier Wurzeln \(y_1,y_2,y_3,y_4\) werden quadratische Functionen von \(\xi_1,\xi_2\), während \(\frac{\xi_1}{\xi_2}\) einer Octaedergleichung genügt.