Ueber die Auflösung gewisser Gleichungen vom siebenten und achten Grade. (Q1550664)

Der Satz, auf welchen sich die Entwickelungen der Abhandlung geründen, lautet: ``Ist eine Gruppe von \(N\) linearen homogenen Substitutionen zwischen \(x_1,x_2,\dots x_n\) einer anderen von \(\frac N\nu\) Substitutionen zwischen \(y_1,y_2,\dots y_\mu\) isomorph, so giebt es ganze homogene Functionen \(Y_1,Y_2, \dots Y_\mu\) der \(x\) , welche sich bei den \(N\) linearen Substitutionen der \(x\) ihrerseits wie die \(y_1,y_2,\dots y_\mu\) homogen linear Substituiren.'' Gehören nun der Gruppe der \(N\) Substitutionen Functionen \(\Phi_1,\Phi_2,\dots\) an, und versteht man unter dem ''Problem der \(x\)'' die Aufgabe, aus den Werthen der \(\Phi\) die \(x\) zu berechnen, so führt der obige Satz auf rationalem Wege das Problem der \(x\) in das der \(y\) über. Hier ist es von Wichtigkeit, die Anzahl \(\mu\) der \(y\) möglichst klein zu wählen. Für die allgemeinen Gleichungen \(5^{\text{ten}}\) Grades ist \(\mu=3\) möglich, indem es zur Gruppe dieser Gleichung ein isomorphes Substitutionensystem zwischen \(y_1,y_2,y_3\) giebt; dasjenige, welches bei den Jacobi'schen Gleichungen sechsten Grades auftritt. Es entsteht daher die Aufgabe: ``Aus 5 willkürlichen Grössen \(x_0,x_1,\dots x^4\) soll man drei Functionen bilden, welche sich bei den Vertauschungen der \(x\) so ternär linear subtituiren, wie \(y_1,y_2,y_3\).'' Hier ergeben sich einmal die allgemeinen Brioschi'schen Formeln; ferner neue, mit der Theorie des Ikosaeder zusammenhängende, welche sich aus zweigliedrigen Unterdeterminanten der \(p\) (vgl. F. d. M. IX. 67. 1877, JFM 09.0065.01) zusammensetzen. Dann folgt eine ähnliche Behandlung der Gruppen \(168^{\text{ten}}\) Ordnung, bie denen wieder \(\mu=3\) ist, für Gleichungen \(7^{\text{ten}}, 8^{\text{ten}},\dots 168^{\text{ten}}\) Grades; dabei zeigt sich, dass es unmöglich ist, diese Probleme rational in Jacobi'sche Gleichungen \(8^{\text{ten}}\) Grades überzuführten, während sich das umgekehrte Problem erledigen lässt. Am Schlusse des ersten Abschnittes folgt die Angabe, dass unter \(n\) eine Primzahl verstanden, bei \(\frac{n+1}2\) und \(\frac{n-1}2\) Elementen Gruppen bestehen, welche mit der Gruppe der Modulargleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades isomorph sind. Im zweiten Abschnitte wird an dem Problem mit 168 Substitutionen gezeigt, wie algebraische Transformationen gegebener Gleichungen auf Normalformen mit nur einem Parameter behandelt werden müssen.