Die allgemeinen Wurzelformen der Quadrics, Cubics und Quartics von Clebsch und Aronhold. (Q1550681)

Für die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades erhält man Auflösungen, in welche noch ein unbestimmter Parameter eintritt, dadurch, dass man zunächst das zweite Glied der Gleichung auf unendlich viele Weisen wegschaffen kann. Wenn nämlich \(f(x_1,x_2)=0\) die Gleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung in homogener Form ist, so setze man \[ u=\frac1n\frac{\partial f(\xi_1,\xi_2)}{\partial\xi_1}x_1+\frac1n\frac{ \partial f(\xi_1,\xi_2)}{\partial\xi_2}x_2,\quad v=\xi_1x_2-\xi_2x_1, \] was das Verlangte leistet. Dieses folgt aus der, in dem Aufsatz nicht weiter erwähnten, Hermite'schen Theorie der ``associirten'' Formen allgemein und wird hier an den einzelnen Fallen ausgerechnet. Der willkürliche Parameter ist \(\frac{\xi_1}{\xi_2}\). Für diese Beispiele vgl. Clebsch, Bin. Formen, 887. Ausser den Auflösungen werden noch die Lageneigenschaften der Wurzeln der zu Hülfe genommenen Gleichungen gegen die der vorgelegten Gleichungen an dem Wurzelausdrücken entwickelt.