On a remarkable property of incommensurable numbers (Q1550867)

Jede beliebige Zahl \(A\) kann nur auf eine Art durch einen Ausdruck von der Form \[ A =\frac{a_1}{1}+ \frac{a_2}{1.2} + \frac{a_3}{1.2.3} + \frac{a_4}{1.2.3.4} +\cdots \] dargestellt werden, worin die Coefficienten \(a_1, a_2, a_3\dots\) ganze positive Zahlen sind, welche durch die Bedingungen \[ A -\frac{a_1}{1}- \frac{a_2}{1.2} - \frac{a_3}{1.2.3} - \cdots - \frac{a_i}{1.2\dots i} <\frac{1}{1.2\dots i} \] \((i=1,2,3,\dots)\) bestimmt werden. Aus einer zweiten vom Verfasser angegebenen Bedingung für diese Coefficienten soll erkennbar sein, ob die durch einen solchen Ausdruck mit unbestimmt vielen Gliedern dargestellten Zahlen commensurabel sind oder nicht.