On the summation of periodic functions (Q1550871)

Unter diesem Titel sind vereinigt eine Abhandlung von Herrn Gyldén, mehrere Zusätze des Uebersetzers Herrn Callandreau und zwei Noten des Verfassers. Der wesentlichste Theil bezieht sich auf folgende Aufgabe. Gesucht wird \[ y_s =F(0)+F(\pi)+\cdots +F(s\pi), \] wo \(s\) eine ganze Zahl und \[ F(t)= M_0 +M_1\cos (\psi+\mu t) + M_2 \cos 2(\psi+\mu t)+\cdots, \] \(\psi\) eine Constante und \(\mu\) eine irrationale Zahl ist. Es ergiebt sich \[ z_s = y_s -\frac{1}{2}F(0)-\frac{1}{2}F(s\pi)= \frac{1}{2}\int^{s\pi}_{0} F(t) \chi(t) dt, \] wo \(\chi(t)\) für alle ganzzahligen \(n\) der Bedingung \[ \int^{s\pi}_{0} \cos n(\psi+\mu t)\chi(t)dt = \cot\,\frac{n\mu\pi}{2}\{\sin n(\psi+s\mu\pi)-\sin m\psi\} \] genügen muss. Durch eine besondere Partialbruchdarstellung der Cotangente wird folgendes elegante Resultat erhalten: \[ z_s=\frac{1}{2}\int^{s\pi}_{0}\left[F(t)+b^{(i)}_1\,\frac{d^2F(t)} {dt^2}+\cdots +b^{(i)}_i\,\frac{d^{2i}F(t)}{dt^{2i}}\right] \chi_i(t)dt, \] wo \[ \begin{aligned} \chi_i(t) & = \frac{2}{\pi}[\chi^{(i)}_0 + 2\chi^{(i)}_i\cos 2t + 2\chi^{(i)}_2\cos 4t+\cdots ],\\ \cot\frac{1}{2}\pi x & = \frac{2P}{\pi}\left[\frac{\chi^{(i)}_0}{x}+\frac{2x\chi^{(i)}_1}{x^2 -2^2}+\frac{2x\chi^{(i)}_2}{x^2-4^2}+\cdots \right],\\ P & = 1 - b^{(i)}_1 x^2 + b^{(i)}_2x^4 -\cdots \pm b^{(i)}_i x^{2i}\\ & = \left(1-\frac{x^2}{1^2}\right) \left(1- \frac{x^2}{3^2}\right)\cdots \left(1-\frac{x^2}{(2i- 1)^2}\right),\end{aligned} \] Die weiteren hiermit in Zusammenhang stehenden Entwickelungen lassen sich des umfangreichen Formelapparates wegen nicht gut auszugsweise wiedergeben; hervorgehoben mögen hier nur gewisse merkwürdige Darstellungen von \(\sin x\vartheta\), \(\cos x\vartheta\) und \(\vartheta\) durch trigonometrische Reihen werden. Unter den Zusätzen des Herrn Callandreau sind zu erwähnen die Behandlung derselben Aufgabe für \[ \frac{F(t)}{t}= M_0 + M_1 \cos (\psi+\mu t)+\cdots , \] ferner die kurze Herleitung der oben angeführten Summationsformel auf einem von Abel angegebenen Wege, der zugleich eine Erweiterung des Resultats ermöglicht, endlich die Bemerkungen über die interpolatorische Berechnung der Coefficienten in trigonometrischen Reihenentwickelungen. Die beiden Noten von Herrn Gyldén beziehen sich auf die trigonometrischen Reihen, deren Summe für gewisse Intervalle der, Variablen constant ist, und auf die Anwendung dieser Reihen in der Störungstheorie.