Integration of irrational functions of second degree. (Q1550936)

Eine successive Annäherung an die Quadratwurzel aus einer Zahl \(N\) erhält man, indem man nach Zerlegung von \(N\) in 2 Factoren \(a,\;b\) diese als erste Näherungswerthe, ihr arithmetisches und harmonisches Mittel, deren Product wieder \(=N\) ist, als zweite, u. s. f. betrachtet. Ist dann \(\frac {P_n}{Q_n}\) der grössere, \(\frac {NQ_n}{P_n}\) der kleinere \(n^{\text{te}}\) Näherungswerth, so ergiebt sich: \[ 2P_n=(\surd a +\surd b)^{2^n}+(\surd a-\surd b)^{2^n};\quad 3Q_n\surd N=(\surd a+\surd b)^{2^n}-(\surd a-\surd b)^{2^n} . \] Von diesem schon früher mitgetheilten Verfahren macht der Verfasser nunmehr Anwendung auf approximative Darstellung eines Integrals von der Form \[ F=\int_0^x \frac {dx}{\sqrt N}, \] dessen \(n^{\text{ter}}\) Näherungswerth dann folgenden Ausdruck hat: \[ F=2^{1-n}\int_0^x \frac {a-b}{ab'-ba'} \frac {dP_n}{P_n} - \int_0^x \frac {(a'-b')dx}{ab'-ba'} \] mit dem Näherungsgrade von \[ \frac {(a-b)^{2^n}}{P_nQ_n}, \] wo \(a',\;b'\) Differentialquotienten nach \(x\) bezeichnen. Er führt die Integration durch an dem Beispiel \[ a=1-k^2x^2,\quad b=1-x^2 . \] Sie erfordert indess die Zerlegung in Factoren: \[ P_n=A(x_1^2-x^2)(x_2^2-x^2)\ldots (x_q^2-x^2), \] wo \(q=2^{n-1}\) gesetzt ist. es ergiebt sich: \[ 2qF=\sum_{\mu =1}^{\mu =q} x_{\mu} \log \left( \frac {x_{\mu}+x}{x_{\mu}-x} \right). \] Dann werden die Logarithmen noch in Reihen nach Potenzen von \(x\) entwickelt.