On the integral \(\int_x^{\infty} \frac {e^{ x}dx}x\). (Q1550949)

Der rationale Bruch \(\frac {\varphi (x)}{f(x)}\) ist dadurch bestimmt, dass er von der Function \[ F(x)=\sum_{k=0}^{k=n-1} \frac {(-1)^kk!}{x^{k+1}} \] für \(x=\infty\), wenn \(f(x)\) vom Grade \(m \overset {=} < \frac n2\), nur in der Ordnung \(\frac 1{x^{2m+1}}\) differirt. Es wird bewiesen, dass dann \(y=f(x)\) und \[ u_m=\varphi (x)e^{-x}-f(x)\int_x^{\infty} \frac {e^{-x}dx}x \] Lösungen der Gleichung \[ xy''+(x+1)y'-my=0 \] sind, und zwar findet man: \[ f(x)=\sum_{k=0}^{k=m} \frac {m^2(m-1)^2\ldots (m-k+1)^2}{k!}x^{m-k}. \] Die \(m^{\text{te}}\) Derivation der Differentialgleichung ergiebt eine Lösung in der Form: \[ y=\frac B{m!} \int_x^{\infty} \frac {e^{-z}(z-x)^m}{z^{m+1}}dz \quad (B\;\text{const.}) \] und nach Identificirung: \[ u_m=-m!\int_x^{\infty} \frac {e^{-z}(z-x)^n}{z^{m+1}}dz. \] Ferner wird aus der Differentialgleichung die Relation hergeleitet: \[ u_{m+1}=(x+2m+1)u_m-m^2u_{m-1}; \] in derselben Relation stehen dann auch die \(f\) und \(\varphi\). Ihr gemäss kann man \(u_0\) in einen Kettenbruch entwickeln, dessen Nenner sind \[ x+1,\quad x+3,\quad \frac {x+5}4,\quad \frac {x+7}9,\ldots ; \] es folgt der Beweis, dass derselbe convergirt. Ferner ergiebt sich, dass die Wurzeln der Gleichung \(f(x)=0\) reell, ungleich und negativ sind. Dies geht aus der Gleichung \[ \int_{-\infty}^0 e^xf_n(x)\psi (x)dx=0 \] hervor, wo \(\psi (x)\) ein Polynomen von niederem als dem \(n^{\text{ten}}\) Grade ist. Insbesondere folgt daraus: \[ \int_{-\infty}^0 e^xf_n^2(x)dx=(n!)^2. \] Eine beliebige Function lässt sich in eine Reihe der Form entwickeln: \[ \varPhi (x)=\sum_{n=0}^{n=\infty} \frac {f_n(x)}{(n!)^2} \int_{-\infty}^0 e^xf_n(x)\varPhi (x)dx. \] Hiervon wird auf specielle Functionen Anwendung gemacht.