On the differential equation of conic sections (Q1550997)

Zu der Differentialgleichung \(5^{\text{ter}}\) Ordnung der Kegelschnitte gelangt man sehr einfach durch die Bemerkung, dass, wenn ihrer Gleichung die Form gegeben wird: \[ y=ax+b+\sqrt{Ax^2+2Bx+C}, \] alsdann \(y^{\prime\prime-\frac 23}\) eine ganze Function \(2^{\text{ten}}\) Grades von \(x\) ist; daher ist \((y^{\prime\prime-\frac 23})'''=0\) oder ausgerechnet: \[ 9y^{\prime\prime 2}y^V-45y'y'''y^{IV}+40y^{\prime\prime\prime 3}=0 \] die gesuchte Differentialgleichung. Hieran wird die Integration derselben geknüpft, die dem Herrn Verfasser nicht ohne Interesse erscheint, da sie Gelegenheit zur Anwendung mehrerer der bekannten Integrationsmethoden bietet.