On the expansion of a function following to increasing powers of a polynomial. (Q1551021)

Jacobi hat zuerst die Entwickelung einer nach ganzen positiven Potenzen von \(z\) fortschreitenden Reihe \(f(z)\) in eine Reihe nach Potenzen eines Polynomes \(F(z)\) vom \(m^{\text{ten}}\) Grade betrachtet, deren Coefficienten Polynime von niedrigerem als dem \(m^{\text{ten}}\) Grade sind (vgl. Borchardt J. LIII. 103). Charakteristisch für diese Entwickelung ist, dass sie die zu sämmtlichen Wurzeln der Gleichung \(F(z)=y\) gehörigen Werthe von \(f(z)\) darstellen soll, falls sie für den Werth \(y\) convergirt. Herr Laguerre berechnet die Coefficienten der Entwickelung von \(f(z)=e^{xz}\) zuerst allgemein, dann für \(F(z)=z(z-1)\). Aus der letzteren Reihe leitet er eine Formel für \(f(t+x)-f(t)\) ab, welche auch Herr Darboux gegeben hat (s. F. d. M. VIII. 1876. p. 125, JFM 08.0124.03). Endlich wird auch \(\log (1+xz)\) nach Potenzen von \(z(z-1)\) entwickelt.