On the addition and multiplication of elliptic functions. (Q1551070)

Jacobi hat (Crelle J. 7, 41) Formeln für die Entwickelung der Quadratwurzel aus einer ganzen Function \(4^{\text{ten}}\) Grades in einen Kettenbruch mit Hülfe der Multiplication der elliptischen Functionen gegeben, welche Formeln später von Borchardt, (dessen Journal 48, 69) bewiesen und auf die Kettenbruchentwickelung der Quadratwurzel aus einer beliebigen ganzen Function ausgedehnt worden sind. Diese transcendenten Ausdrücke für die Elemente der Kettenbruchentwickelung der Quadratwurzel aus einer Function \(4^{\text{ten}}\) Grades vergleichen nun die Herren Verfasser mit den algebraischen Formeln, welche Jacobi für die Umwandlung einer Potenzreihe in einen Kettenbruch aufgestellt hat (Crelle J. 15, 119--124 und 30, 148--156), und gelangen so zu den Multiplicationsformeln für die elliptischen Functionen. Letztere ergeben sich sowohl in der Gestalt, wie sie Herr Brioschi (C. R. 59, 770) angegeben hat, als auch in der von Herrn Kiepert (Borchardt J. 76, p. 21 (1873; JFM 05.0259.01)] entwickelten Form. Es werden dabei die Weierstrass'schen Functionen \(\wp (u)\) und \(\sigma (u)\) benutzt. Die Untersuchung des Falles, in welchem der Kettenbruch periodisch ist, ergiebt eine merkwürdige Beziehung zwischen seinen Näherungsbrüchen und der umgekehrten Transformation der elliptischen Functionen. Nach einer ähnlichen Methode wie die Multiplicationsformeln werden auch die Additionsformeln der elliptischen Functionen abgeleitet.