The inversion of a group of systems of general hyperelliptic differential equations. (Q1551098)

In seiner Abhandlung: ``Ueber die algemeinsten eindeutigen und \(2n\)-fach periodischen Functionen von \(n\) Veränderlichen'' (Berl. Monatsber. 1869; siehe F. d. M. II. 207, JFM 02.0207.01) hat Herr Weierstrass folgende Sätze aufgestellt: ``Nimmt man zwischen \(2n\) veränderlichen Grössen \(u_1,\; u_2\ldots u_n\) und \(x_1,\; x_2,\ldots x_n\) die nachstehenden Gleichungen an, in denen \(\psi_1(x_{\nu},\;\psi_2(x_{\nu})\ldots\psi_n(x_{\nu})\) Functionen bedeuten, deren erste Ableitungen algebraische Functionen der \(x\) sind: \[ u_1=\sum_{\nu =1\ldots n} \psi_1(x_{\nu}),\quad u_2=\sum_{\nu =1\ldots n} \psi_2(x_{\nu}),\ldots u_n =\sum_{\nu =1\ldots n} \psi_n (x_{\nu}) , \] so werden im Allgemeinen zu jedem Systeme der Grössen \(u_1,\; u_2,\ldots u_n\) unendlich viele Systeme der Grösse \(x_1,\; x_2,\ldots x_n\) gehören. Es lässt sich aber zeigen, dass, wenn zu einem Systeme der Grössen \(u_1,\; u_2,\ldots u_n\) eine endliche Anzahl der Grössen \(x_1,\; x_2,\ldots x_n\) gehört, \(x_1,\; x_2,\ldots x_n\) die Wurzeln einer Gleichung \(n^{\text{ter}}\) Grades werden, deren Coefficienten algebraisch durch die partiellen Ableitungen einer eindeutigen und \(2n\)-fach periodischen Function von \(u_1,\; u_2,\ldots u_n\) sich ausdrücken lassen.'' Herr Wiltheiss betrachtet nun den Fall, wo die Ableitungen von \(\psi_1(x),\;\psi_2(x)\ldots\psi_n(x)\) mittelst eines ``hyperelliptischen Gebildes vom Range \(\varrho\)'' hergestellt sind, d. h. mittelst der Gesammtheit zusammengehöriger Werthepaare \(x,\; y=\sqrt{R(x)}\), wo \(R(x)\) eine Function von \(x\) vom \((2\varrho +1)^{\text{ten}}\) Grade ist, in der der Coefficient von \(x^{2\varrho +1}\) gleich Eins, und wo den Quadratwurzeln stets dasselbe Vorzeichen beigelegt wird. Herr Weierstrass hat in seinen Vorlesungen über ``Abel'sche Functionen'' gezeigt, wie die zu diesem hyperelliptischen Gebilde gehörenden \(\theta\)-Functionen gebildet werden. Die Umkehrung des hyperelliptischen Gleichungssystems \[ \begin{matrix} du_1=\sum_{\alpha =1\ldots\varrho} H(x_{\alpha}y_{\alpha})_1dx_{\alpha}, \\ du_2=\sum_{\alpha =1\ldots\varrho} H(x_{\alpha}y_{\alpha})_2dx_{\alpha}, \\ .\quad .\quad .\quad .\quad .\quad .\quad .\quad .\quad .\quad .\quad \\ du_{\varrho}=\sum_{\alpha =1\ldots\varrho} H(x_{\alpha}y_{\alpha})_{\varrho}dx_{\alpha} \end{matrix} \] besteht nun darin, dass erstens eine Function \(\varphi (x,\; u)\) hergestellt wird, die vom \(\varrho^{\text{ten}}\) Grade in \(x\) ist, in der die Coefficienten (abgesehen von dem von \(x^{\varrho}\), der gleich 1 ist) rational aus \(\theta\)-Functionen mit den Argumenten \(u_1,\; u_2\ldots u_{\varrho}\) gebildet sind, und welche die Wurzeln \(x_1,\; x_2,\ldots x_{\varrho}\) hat; zweitens eine Function \(\psi (x,\; u)\), die vom \((\varrho -1)^{\text{ten}}\) Grade in \(x\) ist, deren Coefficienten rational aus den \(\theta\)-Functionen mit den Argumenten \(u_1,\; u_2,\ldots u_{\varrho}\) gebildet sind, und die ausgerechnet für \(x=x_{\alpha}\) den Werth \(-y_{\alpha}\) annimmt. Die Bedingung, dass die Anzahl der Gleichungen gleich \(\varrho\) sei, ist eine für die Möglichkeit der Umkehrung nothwendige; denn wären nicht \(\varrho\), sondern weniger Gleichungen vorhanden, so könnten in der Umkehrung nicht \(\theta\)-Functionen mit \(\varrho\) Argumenten, sondern nur solche mit weniger Argumenten vorkommen. Darauf wird die eindeutige Umkehrung eingehender behandelt, d. h. der Fall, dass zu jedem Systeme der \(u_1,\; u_2,\ldots u_n\) nur \(ein\) System der \(x_1,\; x_2,\ldots x_n\) gehört. Als Anwendungen für die entwickelte Methode, hyperelliptische Differentialglechungen umzukehren, giebt der Herr Verfasser 1) die Darstellung der Coordinaten der geodätischen Linien auf dem Ellipsoid, die durch die Nabelpunkte gehen, und 2) die Darstellung der Coordinaten der geodätischen Linien auf dem elliptischen Paraboloid als Functionen eines unabhängigen Parameters. Beide Darstellungen sind bereits früher auf anderem Wege von den Herren Langenbeck (Diss. Göttingen 1877) und Schwerig (Diss. Berlin 1869) ausgeführt; hier wird die von Herrn Rosenhain (Mém. Sav. Étrang. XI. 1851) befolgte Methode benutzt.