Essay on the fundamental principles of geometry and mechanics. (Q1551141)

Das erste Capitel dieser Arbeit enthält eine eingehende Untersuchung der Axiome, welche zur Begründung der Riemann'schen (``doppelt abstracten''), Gauss'schen (``abstracten'') und Euklidischen Geometrie nothwendig und hinreichend sind. Der Verfasser stellt drei Axiome auf und zeigt, dass jedes darselben unbewaisbar ist. 1) Der Abstand zweier Punkte \(A\) und \(B\) variirt stetig, wenn \(A\) nach \(B\) sich bewegt. Und wenn neben einem Punktsystem \(A, B, C\ldots\) ein Punkt \(B'\) so gegeben ist, dass \(AB=AB'\), so giebt es Punkte, \(C', D',\ldots\), die so beschaffen sind, dass \(BC=B'C'\) etc. (Dieses Axiom ist also gleichbedeutend mit folgendem: Der Raum hat überall stetigen Zusammenhang und jedes Gebilde kann sich ohne Deformation überall frei in ihm bewegen). Den Abstand zweier Punkte im Raume definirt der Verfasser als eine Function ihrer 6 Coordinaten \[ (x_1y_1z_1)\quad(x_2y_2z_2), \] und er unterscheidet \(a\)) den idealen Abstand, welcher jeder beliebigen Function der Coordinaten entspricht, \(b\)) den analytischen Abstand, welcher den Forderungen der ersten Axioms genügt, \(c\)) den physischen Abstand (im Efrahrungsraume). Der analytische Abstand \(F_{12}\) kann nur eine von folgenden drei Formen haben: \[ \begin{aligned} & F_{12}=\root\of{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}, \\ & F_{12}=\frac A\pi \text{arc}{\mathfrak Cof} \frac{1-a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2}{\root\of{(1-a_1^2-b_1^2-c_1^2) (1-a_2^2-b_2^2-c_2^2)}}. \end{aligned} \] (Hierin ist \(A\) eine Constante, \[ a_1={\mathfrak Tg}\frac{\pi x_1}{A},\quad a_2={\mathfrak Tg}\frac{\pi x_2}{A},\quad b_1={\mathfrak Tg}\frac{\pi y_1}{A}\;\text{etc}., \] und alle Functionen sind hyperboliche). Die dritte Form unterscheidet sich von der zweiten nur dadurch, dass an die Stelle von \(A\) eine andere Constante \(D\) tritt, dass alle Vorzeihen rechts positiv und alle Functionen cyklische sind. Das erste Axiom gilt in allen drei Geometrien, aber die drei Arten des analytischen Abstandes entsprechen der Reihe nach der Euklidischen, Gauss'schen und Riemann'schen Geometrie. Es folgt die Ableitung derjenigen Begriffe und Sätze, welche nur das erste Axiom voraussetzen, also allen drei Geometrien gemeinsam sind. -- 2) Der Abstand zweier Punkte hat keine obere Grenze, kann also beliebig vergrössert werden. (Hierdurch wird also die Unendlichkeit des Raumes ausgesprochen). Durch Einführung dieses Axioms wird die Riemann'sche Geometrie ausgeschlossen, und es folgen nun diejenigen begriffe und Sätze, welche auf diesem zweiten Axiome beruhen, also der Gauss'schen und Euklidischen Geometrie gemeinsam sind. Darunter finden sich auch die Sätze: ``Ein System von Punkten in unveränderlichen gegenseitiger Lage lässt sich um zwei feste Punkte, die ihm angehören, bewegen.'' und : ``Bei dieser Bewegung beschreiben alle Punkte des Systems geschlossene Linien und vollenden in derselben Zeit eine ganze Umdrehung,'' Sätze, welche bei Helmholtz zusammen als viertes Axiom auftreten. -- Es wird dabei stets auf die abweichenden Sätze der doppelt-abstracten Geometrie Rücksicht genommen. -- 3) Durch einem Punkt kann man zu einer Geraden nur eine Parallele ziehen. Durch Einführung dieses Axioms wird auch die Gauss'sche Geometrie ausgeschlossen, indem in der Riemann'schen keine, in der Gauss'schen unendlich Parallelen möglich sind. Im zweiten Capitel werden die Veränderungen angegeben, welche verschiedene Abschnitte des Lehrbuchs der Geometrie von Rouché und Camberousse unter Zugrundelegung jener drei Axiome zu erleiden haben, unter beständiger Berücksichtigung der abweichenden Resultate in den andern beiden Geometrien. Das dritte Capitel enthält die Sätze der gewöhnlichen, das vierte die der allgemeinen Trigonometrie, d. h. die Sätze und Formeln, welche nur das erste Axiom voraussetzen. Ausserdem werden einzelne Probleme in allen drei Arten der Trigonometrie durchgeführt. Die doppelt abstracte Trigonometrie fällt hiernach mit der sphärischen zusammen. Das letzte Capitel bringt die Hauptsätze der Mechanik, im Anschluss an das Lehrbuch von Gilbert, ohne bemerkenswerthe Neuerungen.