Typische Darstellung der ternären biquadratischen Form \(f= x_1^3 x_2 + x_2^3 x_3 + x_3^3 x_1\). (Q1551206)

Trotzdem es Herrn Gordan schon seit einiger Zeit gelungen war, die Endlichkeit des zu den ternären biquadratischen Formen gehörigen Systems nachzuweisen (cf. Clebsch-Lindemann p. 174 Note), so verhinderte die zu grosse Zahl der Formen eine wirkliche Aufstellung derselben. Erst das Auftreten der im Titel angegebenen Form in den Untersuchungen des Herrn Klein (Clebsch Ann. XIV. XV.) veranlasste den Herrn Verfasser, seine Untersuchungen wieder aufzunehmen und für diese Form, die durch 168 lineare Transformationen in sich übergeht und nur vier linear unabhängige Covarianten besitzt, das volle System aufzustellen. Später zeigt es sich, dass diese specielle Form \(f\) aus der allgemeinen durch Festsetzung einer ganz bestimmten Covariantenrelation hervorgeht. Der erste Theil der ersten Arbeit (JFM 12.0096.01) überträgt die im Erlanger Programm 1875 (cf. F. d. M. VII. p. 50, JFM 07.0050.01) vom Herrn Verfasser für binäre Formen aufgestellten Methoden auf ternäre. Als Grundoperationen treten auch hier der Ueberschiebungs- und Faltungsprocess auf. Sind zwei ternäre Formen in allgemeinster Weise zu Grunde gelegt \[ A = a_x^r u_{\alpha}^s, \quad B = b_x^{\varrho} u_{\beta}^{\sigma}, \] so ist jede in den Coefficienten von \(A\), \(B\) bilineare invariante Bildung eine Ueberschiebung; symbolisch ist sie dargestellt durch \[ u = a_{\beta}^{r_1} b_{\alpha}^{r_2} (abu)^{r_3} (\alpha\beta x)^{r_4} a_x^{r_5} b_x^{r_6} u_{\alpha}^{r_7} u_{\beta}^{r_8}, \] (wo natürlich \(r_1 + r_3 + r_5 = r\) etc.). Ersetzt man im Producte \[ A.B = a_x^r u_{\alpha}^s . b_x^{\varrho} u_{\beta}^{\sigma} \] irgend welche Factorenpaare \[ a_{\alpha} u_{\beta} \quad b_x u_{\alpha} \quad a_x b_x \quad u_{\alpha} u_{\beta}, \] resp. durch \[ a_{\beta} \quad b_{\alpha} \quad (abu) \quad (\alpha\beta x), \] so erhält man eine neue ``gefaltete Form''. Besonders wichtig sind die Faltungen von \(A\) resp. \(B\) allein \[ A_{\lambda} \equiv a_{\alpha}^{\lambda} a_x^{r-\lambda} u_{\beta}^{s-\lambda}, \] entsprechend \[ B_{\lambda} \equiv b_{\beta}^{\lambda} b_x^{\varrho - \lambda} u_{\beta}^{\sigma - \lambda}. \] Irgend eine Ueberschiebung \(u\) ist ein Aggregat symbolischer Producte (``Glieder'' von \(u\)). Von diesen gilt der fundamentale Satz: ``Irgend ein solches Glied ist ersetzbar durch ein anderes Glied von \(u\) und Glieder niederer Ueberschiebungen.'' Speciell für die biquadratischen Formen ist der Umstand massgebend, dass sie eine einfache Covariante vierter Classe besitzen, und zwar, wenn \(f = a_x^4,\) so ist sie \(\varrho = 2(abu)^4 = u_{\nu}^4.\) Denn es zeigt sich als sehr fruchtbar, sowohl die Symbole von \(f\) als zugleich die von \(\varphi\) einzuführen. Die zu \(f\) gehörigen Bildungen zerfallen demnach in drei Classen, je nachdem sie die eine oder die andere Symbolreihe oder beide enthalten (dies sind die Systeme \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\)). Zugleich erweist sich die Einführung des neuen Begriffs ``Reducent'' als nothwendig. Dies ist ein Ausdruck, der beide Symbolreihen enthält, von der Eigenschaft, dass alle symbolischen Producte, die ihn zum Factor haben, und in denen nur die Symbole des Reducenten vorkommen, Aggregate von Formen sind, die ``entweder eine Invariante als Factor haben oder aus weniger Symbolen bestehen.'' Von den drei Systemen \(S\) wird das erste (mit den Symbolen von \(f\)) für eine ganz allgemeine Form \(f\) aufgestellt. Es zerfällt in die aus dem binären Gebiet herübergenommenen Formen (an Zahl 4, da ja \(\varphi\) auszulassen ist) und die Formen mit 3, 4 \(\ldots\) Symbolen. Unter denen befinden sich nur zwei irreducibele \[ \begin{matrix} \l\quad & \l\\ \varDelta = \frac {16}{3} (abc)^2 \; a_x^2 b_x^2 c_x^2 & \text{ (drei Symbole)}\\ (\varDelta fu) & \text{ (vier Symbole).}\end{matrix} \] Mithin besteht \(S_1\) (incl. \(f\)) aus sechs Formen. \(S_2\) und \(S_3\) werden nur für die specielle Form \(f\) aufgestellt. Es zeigt sich, dass für \(f\) die Relation gilt \[ f_{\varphi}^2 - \frac{i}{\gamma} u_x^2 = 0, \] wo \(i\) die Invariante \(\frac 43 f_{\varphi}^4 = 1\) ist. Umgekehrt (wie in der zweiten Arbeit gezeigt wird) definirt diese Relation die specielle Form. Dass für diese die Aufstellung des Systems noch gelingt, liegt in der Eigenschaft (wie aus jener Relation folgt), dass ``\(if\) gradeso von \(\varphi\) abhängt wie \(\varphi\) von \(f.\)'' So ergiebt sich, dass das System \(S_2\) nur drei irreducible Formen aufweist: \(\varphi\), \(H\), \(L\), wo \(H\), \(L\) die Formen \(\varDelta\), \((f\), \(\varDelta u)\) sind, nur in Bezug auf \(\varphi\) genommen. Die grösste Schwierigkeit bereitet das System \(S_3\), das durch geeignete Combination von \(S_1\) und \(S_2\) construirt wird, d. h. es werden je aus \(S_1\) und \(S_2\) alle möglichen symbolischen Producte \(A\) resp. \(B\) gebildet und dann das Product \(A.B\) gefaltet, so dass bei jeder Faltung ein Factor von \(A\) und einer von \(B\) verwendet wird. Das Zahlensystem, das angiebt, wie viel Faltungen zu einer bestimmten Form \(P\) führten, wird als Characteristikensystem von \(P\) aufgefasst und die Formen \(P\) nach diesem geordnet. So ergeben sich, alles zusammengefasst, 54 Bildungen, die das volle System der speciellen Form \(f\) repräsentiren. Während alle anderen Formen sich aus diesen ganz darstellen lassen, bringt die zweite Arbeit die associirten Formen, durch die alle andern sich rational darstellen. Diese associirten Formen sind: \(f\) selbst, eine Invariante \(i\), drei Covarianten (vom Grade 6, 14, 21) und sechs lineare Zwischenformen. Es geht dies schon aus einer früheren Arbeit der Herren Clebsch und Gordan: ``Ueber die Theorie der ternären cubischen Formen'' (Clebsch Ann. I., s. F. d. M. II. 1869. p. 64, JFM 02.0064.01) hervor. Im Uebrigen zeigt sich eine gewisse Analogie zwischen den cubischen und biquadratischen Formen, namentlich entsprechen drei charakteristischen linearen Zwischenformen \(N\), \(L\), \(M\) dort drei bestimmte, hier \(p\), \(q\), \(r\) (wo \(p\), \(q\) vom niedrigsten Grade 8, resp. 9 sind). Die Hauptaufgabe ist daher jetzt eine andere, wie früher. Es soll jetzt irgend eine Form durch die gegebenen associirten Formen ausgedrückt werden. Diese Aufgabe formt sich aber sofort um in eine andere. Denkt man sich irgend eine Form \(\varPi\), die neue Symbole von \(f\) enthält, mit einer solchen Potenz \((pqx)^{\alpha}\) multiplicirt, dass auf jeden Factor \((abu)\), resp. \((abc)\) ein Factor \((pqx)\) kommt, so gelangt man mittels der bekannten Umformung der Determinantenproducte \((abu)\) \((pqx)\), \((abc)\) \((pqx)\) sofort zu dem Satze, dass \(\varPi (pqx)^{\alpha}\) eine ganze Function von \(f\) und der nach \(p\), \(q\) genommenen ersten 14 Polaren \(f_p\) \(f_q\) \(\ldots f_{q^4}\) ist. Es sind also nur noch \((pqx)\), nebst diesen Polaren durch die associirten Formen auszudrücken. Und da \((pqx)\) und die Polaren nur die \(x\) enthalten, sind sie ganze Functionen von \(f\), der Invariante \(i\) und den drei Covarianten. Diese Berechnung wird im ersten Theile geleistet. Dann erfolgt die schon erwähnte Charakterisirung von \(f\) durch die angegebene Covariantenrelation mit Hülfe der expliciten Darstellung der associirten Formen Es zeigt sich dabei, dass, geometrisch gesprochen, \(f=0\) eine Curve vierter Ordnung darstellt, die in den Ecken des Coordinatendreiecks Wendepunkte hat; zugleich sind die Seiten Wendetangenten. Entspricht \(u_x\) einem Eckpunkt, so entsprechen die Zwischenformen \(q\), \(r\) den beiden andern. Sodann wird das Klein'sche ``Fundamentalproblem'' erledigt (mit Hülfe einiger von Herrn Klein gegebenen Formeln): ``\(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) zu berechnen, wenn \(f=0\) und die drei canonischen Covarianten numerisch gegeben sind.'' Sie stellen sich als elliptische Functionen dar. Das ``Fundamentalproblem'' wird noch erweitert, indem \(f\) nicht. gleich 0, sondern auch numerisch gegeben ist, während das Uebrige bleibt. Die sieben zur Lösung erforderlichen Operationen werden am Ende übersichtlich zusammengestellt.