On the Leibniz series. (Q1551380)

Beweis folgenden Satzes, der eine Verallgemeinerung eines Abel'schen Satzes ist. ``Ist \[ s_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_n, \] und nähert sich \[ \frac{s_0 + s_1 + \cdots + s_{n-1}}{n} \] bei wachsendem \(n\) einer bestimmten endlichen Grenze \(M\), so ist die Reihe \[ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots \] für die Werthe von \(x\) zwischen \(-1\) und \(+1\) convergent, und die durch sie dargestellte Function nähert sich, wenn \(x\) beständig zunehmend gegen 1 convergirt, dem Werthe \(M\) als Grenze.'' In dem besonderen Falle der Reihe \[ 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots \] nähert sich der Werth derselben, wenn \(x\) zunehmend gegen 1 convergirt, der Grenze \(\frac 12\). Von diesem Verhalten der Reihe versucht Leibniz eine eigenthümliche Erklärung (``etsi metaphysicum magis quam mathematicum tamen firmum''), in welcher Herr Frobenius die allerdings ohne Beweis aufgestellte Behauptung obigen Satzes erkennt.