The recursion formulas for the computation of the Bernoulli and Euler numbers. (Q1551390)

Die Bernoulli'schen Zahlen, Euler'schen Zahlen (d. i. Secantencoefficienten) und Tangentencoefficienten werden definirt als die Coefficienten der Entwickelung der Functionen \[ \frac{x}{e^x -1}, \quad \frac{2}{e^x + e^{-x}}, \quad \frac{e^x - e^{-x}}{e^x+e^{-x}}. \] Die Theorie der letzten ist in der der ersten, auf die sie sich reduciren, enthalten. Die Entwickelung der Recursionsformeln auf dieser Grundlage ist an sich ziemlich einfach, erhält aber eine grosse Uebersichtlichkeit durch den Gebrauch der von E. Lucas angewandten Symbole, durch welche sich die Functionen in der Form \(e^{bx}\) darstellen, so zu verstehen, dass die Exponenten von \(b\) in Indices zu verwandeln sind. Die Recursionsformeln, welche so gewonnen werden, sind einestheils diejenigen, welche die \(n^{\text{te}}\) Zahl auf alle vorhergehenden zurückführen, anderntheils die von Seidel und Stern entdeckten, welche zwischen einer bestimmten Anzahl successiver Zahlen stattfinden. Der Verfasser glaubte, dass der so nach beiden Richtungen gemachte methodische Fotschritt der Theorie eine systematische Bearbeitung verdiente; diese ist ihm auch sehr wohl gelungen.