On a formula arising in calculus. (Q1551408)

Es wird die Formel bewiesen \[ \frac{d^n}{dx^n} \left[ f(x) \varphi \left( \frac 1x \right) \right] = \sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k (n)_k \frac{1}{x^k} \varphi ^{(k)} \left( \frac 1x \right) \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}} \left[ \frac{f(x)}{x^k} \right]. \] Hiervon ist ein einfaches Resultat: \[ \frac{d^n}{dx^n} \left( x^{n-1} e^{\frac 1x} \right) = (-1)^n \frac{e^{\frac 1x}}{x^{n+1}}. \] Dieses wird dann direct auf zwei Arten bewiesen. Ferner wird von letzterer Gleichung das \(p\)-fache Integral betrachtet.