Zur Pfaff'schen Lösung des Pfaff'schen Problems. (Q1551502)

Die Aufgabe: \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\) \(x_m\) als unabhängige Functionen von \(m\) neuen Variabeln \(t\), \(\alpha_2\), \(\ldots\) \(\alpha_m\) so zu bestimmen, dass identisch wird \[ \sum_{h=1}^{h=m} X_h dx_h = \frac 1N \sum_{i=2}^{i=m} A_i d\alpha_i, \] worin \(N\) eine Function von \(t\), \(\alpha\), \(\ldots\) \(\alpha_m\), die Coefficienten \(A_1\), \(\ldots\) \(A_m\) dagegen blosse Functionen von \(\alpha_2\), \(\ldots\) \(\alpha_m\) sind, wird gewöhnlich ausschliesslich auf das sogenannte erste Pfaff'sche System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zurückgeführt, in der Art, dass man annimmt, die Aufgabe sei lösbar, so oft diesem Systeme genügt werden kann. Die vorliegende Note zeigt, dass diese Zurückführung nur so lange zulässig ist, als die aus den Elementen \[ \alpha_{ik} = \frac{\partial X_i}{\partial x_k} - \frac{\partial X_k}{\partial x_i} \] gebildete schiefe Determinante nicht verschwindet. Sobald aber diese Determinante Null ist, so muss man dem ersten Pfaff'schen Systeme noch eine weitere Bedingungsgleichung hinzufügen. Dagegen ergiebt sich, dass in der That, wie es zur Anwendbarkeit der Pfaff'schen Methode auf die Integration der gegebenen Gleichung \[ \sum_{h=1}^{h=m} X_h dx_h = 0 \] erforderlich ist, die obige Aufgabe dann und nur dann stets lösbar ist, wenn \(m\) eine grade Zahl.