Principles of an algebraic calculus which contains as a special case the calculus of imaginary quantities. (Q1551531)

Grassmann hat gezeigt, wie man durch Einführung der ursprünglichen Einheiten und der zwischen ihnen geltenden Multiplicationsgesetze Transformationsaufgaben an Gleichungen in besonders einfacher Weise lösen kann. Die Ausrechnung des symbolischen Resultats unter Anwendung jener Multiplicationsgesetze bestätigt dann die Richtigkeit der Rechnung. Herr Lipschitz schlägt den entgegengesetzten Weg ein, indem er in eine Transformationsaufgabe solche Einheiten einführt, ohne über ihre Eigenschaften und Multiplicationsgesetze Voraussetzungen zu machen. Durch Lösung der Aufgabe auf gewöhnlichem analytischen Wege ergeben sich dann als Resultate jene Beziehungen zwischen den Einheiten, welche beim ersten Verfahren schon vorausgesetzt wurden. Herr Lipschitz macht dabei einen Umweg, indem er zuerst gewisse Symbole \(i\) einführt, welche theils Einheitsproducte theils Summen von solchen sind. So ist in Grassmann'scher Bezeichnungsweise \[ i_{1234}=(e_1e_2)(e_3e_4)+(e_1e_3)(e_4e_2)+(e_1e_4)(e_2e_3);\quad i_{12}=(e_1e_2). \] Später stellt Herr Lipschitz diese Symbole \(i\) als Producte von neuen Symbolen \(k\) dar, welche jedoch mit den Grassmann'schen Einheiten \(e\) identisch sind. Diesen Zusammenhang hat Herr Lipschitz übersehen. Dass seine ``Primitivzeichen'' nur in binären Verbindungen erscheinen, liegt in der Natur der den Ausgangspunkt bildenden speciellen algebraischen Aufgabe, welche diese Zeichen gar nicht anders als in solchen Verbindungen liefern kann. Die Identität der Grössen \(k\) und \(e\) wird weiter durch ihren Zusammenhang mit den Quaternionen erwiesen. Die Grassmannschen allgemeinen Gleichungen \[ (a)\quad e_re_s=-e_se_r;\quad e_1e_1=e_2e_2=\dotsm =e_ne_n \] bedürfen der Ergänzung durch die Systeme \[ (b)\quad e_1e_2=e_3;\quad e_2e_3=e_1;\quad e_3e_1=e_2; \] \[ (c)\quad e_1^2=-1, \] um zu den Quaternionen zu führen. Mit den Gleichungen (a) und (c) decken sich nun offenbar die Gleichungen des Herrn Lipschitz: \[ (d)\quad k_ak_b=-k_bk_a\quad \text{und} \quad k_ak_a=-1. \] Die Gleichungen (b) sind, wenn es sich um Rechnungsregeln für Symbole mit beliebig vielen Indices \(i_abc\ldots\) handelt, allerdings entbehrlich, aber beim Uebergang zu den auf drei Indices sich beschränkenden Quaternionen bilden sie die nothwendige Ergänzung der Gleichungen (d). Zu bemerken ist noch, dass in den ersten Gleichungssystemen der Abhandlung jedes \(r^{\text{te}}\) Glied der \(r^{\text{ten}}\) Gleichung einer Ergänzung durch den Factor \(\lambda_{rr}\) bedarf.