Development of a function of a single variable in a given interval in terms of the mean values of that function and its derivatives in that interval. (Q1551557)

Das hier behandelte Problem lautet: ``Dasjenige Polynom \(P_n \; n^{\text{ten}}\) Grades in \(x\) zu finden, das die eigenschaft hat, dass sein Mittelwerth und die Mittelwerthe seiner \(n\) Ableitungen in dem Intervalle \(-h\) bis \(+h\) gleich \(n+1\) gegebenen Grössen \(Y_0,\; Y_1,\ldots Y_n\) werden.'' Hier ist unter dem Mittelwerth der Function \(f(x)\) im Intervalle \(a\) bis \(b\) das Integral \[ \frac 1{b-a} \int_a^b f(x)dx \] verstanden. Die Coefficienten der \(Y\) in der Darstellung von \(P_n\), welche Functionen von \(x\) und \(h\) sind ud Hülfspolynome genannt werden, gehören zu der Classe von Functionen, die Herr Appell in der Abhandlung: Sur une certaine classe de polynômes, Ann. de l'Éc. N. (2) IX. 119-144, siehe Abschn. VII. Cap. 2. p. 342 (JFM 12.0342.02), studirt hat.