On relations between the approximating fractions for power series. (Q1551559)

Ist die Potenzreihe \[ y=a_0+a_1x+a_2x^2+\dotsm \] gegeben, so kann man zwei ganze Functionen von den Graden \(\alpha\) und \(\beta\) \[ T=t_0+t_1x+\dotsm +t_{\alpha}x^{\alpha}, \quad U=u_0+u_1x+\dotsm +u_{\beta}x^{\beta} \] so bestimmten, dass die Entwickelung von \(yU-T=V\) erst mit der \((\alpha +\beta +1)^{\text{ten}}\) Potenz anfängt. Bezeichnet man mit \(T_{\alpha\beta},\; U_{\alpha\beta}\) die den gestellten Forderungen genügenden Functionen, so zeigt sich, dass sie bis auf einen constanten Factor vollständig bestimmt sind, sobald \[ c_{\alpha\beta} =\begin{vmatrix}\l\quad & \l & \l & \l\\ a_{\alpha -\beta +1} & a_{\alpha -\beta +2} & \ldots & a_{\alpha} \\ a_{\alpha -\beta +2} & a_{\alpha -\beta +3} & \ldots & a_{\alpha +1}\\ \quad \vdots & \quad\vdots & & \vdots\\ a_{\alpha} & a_{\alpha +1}& \ldots & a_{\alpha +\beta -1}\end{vmatrix} \] von Null verschieden ist. Dies ist auch die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass der Bruch \(T_{\alpha\beta}:U_{\alpha\beta}\) von Null verschieden sei. Aufgabe vorliegender Arbeit ist nun die Entwickelung eines Systems von identischen Relationen zwischen den \(T,\; U\) und \(V\) mit aufeinanderfolgenden Indices. Ist \[ a_n=\frac {f^{(n)}(t)}{n!}, \] so stellen die Quotienten \(T_{\alpha\beta}:U_{\alpha\beta}\) die Näherungsbrüche der nach Potenzen von \(x=s-t\) entwickelten Reihe der Function \(y=f(s)\) dar. Die Relationen zwischen den Zählern, Nennern und Resten derselben und ihren Derivirten nach \(t\) bilden den Gegenstand eines besonderen Paragraphen. Den Beschluss bildet die Entwickelung der Potenzreihen in Kettenbrüche.