On the normal forms of third and fifth level of the elliptic integral of the first kind. (Q1551597)

Die ausführliche Darlegung der Untersuchungen über die Normalform der dritten und fünften Stufe, von denen Herr Klein in der vrstehenden Arbeit Mittheilung gemacht hatte (siehe das obige Referat, JFM 12.0351.01). Für die dritte Stufe werden die neun Wendepunkte und die vier WEndedreiecke der ebenen Curve dritter Ordnung benutzt; es ergiebt sich, dass die hier auftretende Constante \(a\) für das an der Curve hinerstreckte Integral die Thetaederirrationalität ist, und die letztere durch \(\sigma\)-Functionen ausgedrückt. Bei der fünfter Stufe werden sechs fundamentale Pentaeder in Betracht gezogen, welche für die Curve fünfter Ordnung im Raume von vier Dimensionen den vier Wendedreiecken der ebenen Curve dritter Ordnung entsprechen. Die hier auftretende Constante \(a\) ist die Icosaederirrationalität in der gewöhnlichen Normalform. Das überall endliche, längs der Curve fünfter Ordnung hinerstreckte Integral erscheint in der Form: \[ U=C\int \frac {(udv-vdu)x_1}{(\varphi_0\varphi_1\varphi_2 uv)}, \] wo \(C\) eine Constante, \(u\) und \(v\) irgend zwei lineare Ausdrücke in den \(x\) und \((\varphi_0\varphi_1\varphi_2 uv)\) die Functionaldeterminante der Functionen \(\varphi_0,\;\varphi_1,\;\varphi_2,\; u,\;v\) bedeuten.