On the addition theorem and the inversion problem of the elliptic functions. (Q1551598)

Es wird ein Weg angegeben, auf dem man ohne mühsame Rechnungen in naturgemässer Weise in die Lehre von den Thetafunctionen, welche den Kernpunkt der Theorie der ellipptischen Functionen bildet, eingeführt wird. Hierbei werden nur die Periodicitäts-Eigenschaften des Integrals erster Gattung als bekannt vorausgesetzt. Der Gang ist folgender: Nachdem die Additionstheoreme für die Integrale erster, zweiter und dritter Gattung auf einfache Weise abgeleitet sind, wird das von Jacobi mit \(\varPi (u,\alpha )\) bezeichnete Integral dritter Gattung durch Addition eines Logarithmus und eines Interals erster Gattung in eine Normalform übergeführt, welche bezüglich des Vorkommens von Argument und Parameter symmetrisch, und deren reeller Periodicitätsmodul Null ist. Die vollständige Normirung geschieht dann, nachdem die Periodicitätseigenschaften der Integrale zweiter und dritter Gattung kurz entwickelt worden sind. Dieser, auch in der Theorie der Abel'schen Functionen fruchtbare Process der Normirung des Integrals dritter Gattung, dem zu diesem Zweck die Form eines Doppelintegrals gegeben wird, drängt nun von selbst auf die Einführung der Jacobi'schen Functionen \(Z\) und \(\varTheta\).