Discussion of a geometrical problem, with bibliographical notes. (Q1551712)

Es wird die Aufgabe behandelt, ein rechtwinkliges Dreieck zu bestimmen, für welches die Winkelhalbirenden der beiden spitzen Winkel gegeben sind. Zunächst wird darauf hingewiesen, dass diese Aufgabe nicht durch die Elemente der Geometrie, d. h. durch alleinige Anwendung von gerader Linie und Kreis lösbar ist. Es werden zuerst trigonometrische, dann algebraische Lösungen, dann Constructionen -- in denen ein Kegelschnitt, Parabel oder Hyperbel vorkommt -- gegeben. Am Schlusse finden sich noch einige bibliographische Notizen. Zur Orientirung in Betreff der Behandlungsweise diene Folgendes: Sind \(\alpha, \beta\) die gegebenen Winkelhalbirenden, A der spitze Winkel, der durch \(\alpha\) halbirt wird, so führt eine elementare Betrachtung zu der Gleichung: \[ \text{tg}^3{A\over 2}+\text{tg}^2{A\over 2}+\left({\alpha\over \beta} \sqrt{8}-1\right)\text{tg}{A\over 2}-1=0. \] Als Beispiel wird behandelt: \[ \alpha=40, \quad{} \beta=50, \] woraus folgt: \[ \text{tg}{A\over 2}=0,49788; \] \[ A=52^o \; 56' \; 8'',67; \quad{} B=37^o \; 3' \; 51'',33; \; C=90^o; \] und die Seiten des Dreiecks \[ a=47,407275 \; ect. \]