Problem der homologen Kreise in collinearen Räumen. (Q1551813)

Bekanntlich lassen sich zwei collineare Räume im Allgemeinen nicht in perspectivische Lage bringen. Es giebt in collinearen Räumen stets zwei einander entsprechende unendlich ferne Gerade, für welche folgender Satz bewiesen wird. ``Die Räume \(\varSigma\) und \(\varSigma_1\) lassen sich nur dann und zwar auf zweifache Weise in perspectivische Lage bringen, wenn die beiden homologen unendlich fernen Punktreihen derselben projectivisch gleich sind.'' Es wird dann die Frage erörtert, welche Lage haben die Kreise in \(\varSigma\), denen in \(\varSigma_1\) wiederum Kreise entsprechen, und es ergeben sich folgende Resultate: ``Sind zwei collineare Räume \(\varSigma\) und \(\varSigma_1\) nicht affin und lassen sie sich nicht in perspectivische Lage bringen, so gehen durch jeden Punkt \(P\) des Raumes \(\varSigma\) doppelt unendlich viele Kreise, denen wieder Kreise in \(\varSigma_1\) entsprechen. In einem ebenen Systeme \(E\) in \(\varSigma\), welches zu dem homologen \(E_1\) in \(\varSigma_1\) nicht affin, ist, geht durch jeden Punkt ein und nur ein Kreis, dem ein solcher in \(\varSigma_1\) entspricht; dagegen enthalten zwei homologe affine ebene Systeme von \(\varSigma\) und \(\varSigma_1\) keine entsprechenden Kreise. Jene Kreise in \(E\) bilden einen Kreisbüschel, dessen Potenzaxe in der Gegenebene von \(\varSigma\) liegt; sie haben keinen reellen Punkt mit einander gemein, und ihre Mittelpunkte liegen auf einer Geraden \(m\), welche auf der Gegenaxe von \(E\) senkrecht steht. Jeder solcher Kreis von \(\varSigma\) wird von unendlich vielen analogen Kreisen in Punktpaaren geschnitten. Die Ebenen dieser Kreise in \(\varSigma\) schneiden die Gegenebenen von \(\varSigma\) in parallelen Geraden. Die Ebene \(E\) enthält zwei Punktkreise, denen solche in \(E_1\) entsprechen. Diese Punktkreise sind die resp. Mittelpunkte der beiden homologen projectivisch gleichen Strahlenbüschelpaare von \(E\) und \(E_1\). Jeder Punkt von \(\varSigma\), der ausserhalb der Gegenebene von \(\varSigma\) liegt, ist Mittelpunkt von zwei und nur zwei Strahlenbüscheln, denen in \(\varSigma_1\) projectivisch gleiche Strahlenbüschel entsprechen.'' Zwei collineare nicht affine Räume können damm und nur dann in perspectivische Lege gebracht werden, wenn in ihnen homologe Kugelflächen existiren.'' Lassen sich die Räume \(\varSigma\) und \(\varSigma_1\) in perspectivische Lage bringen, so ergiebt sich hinsichtlich der Lage homologer Kreise folgendes: ``Jedem Kreise des Raumes \(\varSigma\), dessen Ebene zu der Gegenebene von \(\varSigma_1\) parallel läuft, entspricht ein Kreis in \(\varSigma_1\). Durch jeden Punkt \(P\) von \(\varSigma\) können im Allgemeinen zwei Ebenen gelegt werden, so dass \(E\) ein Punktkreis desselben wird. In \(\varSigma\) ist ein Kugelbüschel \(K\) vorhanden, dem wieder ein Kugelbüschel \(K_2\) in \(\varSigma_1\) entspricht; auf ihnen liegen die sämmtlichen nicht affinen homologen Kreise der beiden Räume; zwei der Kugeln reduciren sich auf einen Punkt.'' Zum Schlusse werden die analogen Sätze für affine Systeme aufgestellt.