The ellipse with smaller inside area circumscribed in a triangle and the ellipsoid with smaller volume circumscribed in a tetrahedron (Q1551893)

Die Aufgabe wird nach der allgemeinen Methode behandelt, welche die Analysis für alle derartigen Aufgaben bietet. Gehört die Gleichung \[ a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 + 2a_{13} x + 2a_{23} y + a_{33} = 0 \] einer Ellipse zu, und ist \[ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| = \overline{\varDelta}, \quad \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| = \delta, \] \(F\) der Flächeninhalt der Ellipse, so hat man \[ F^2 = \frac{\overline{\varDelta}^2}{\delta^3} \pi^2. \] Werden nun die Bedingungsgleichungen eingeführt, welche unter den Coefficienten \(a_{ik}\) bestehen, damit die Ellipse durch die drei gegebenen Punkte \((x_1 y_1)\), \((x_2 y_2)\), \((x_3 y_3)\) geht, und wird dann in bekannter Weise differentiirt, so erhält man für die kleinste Ellipse den Inhalt \[ F = \frac 29 \sqrt 3 \left| \begin{matrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{matrix} \right| \cdot \pi . \] Die Gleichung dieser Ellipse wird, wenn \(\alpha_1 = 0\) die Gerade ausdrückt, die die Punkte \((x_2 y_2)\), \((x_3 y_3)\) verbindet, und \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) die analogen Bedeutungen haben, \[ \frac{\alpha_2 \alpha_3}{\sin (\alpha_2,\; \alpha_3)} + \frac{\alpha_3 \alpha_1}{\sin (\alpha_3, \alpha_1)} + \frac{\alpha_1 \alpha_2}{\sin (\alpha_1, \alpha_2)} = 0. \] Ganz ähnlich ist die Sache beim Ellipsoid; nur wird dort, da die Rechnung sehr complicirt ist, das Resultat anticipirt, dass die Tangentialebenen des kleinsten Ellipsoids in den Ecken des eingeschriebenen Tetraeders den bezüglichen Gegenflächen parallel sind, und auf die Verification nachträglich higewiesen. Der Inhalt dieses Ellipsoides ist \[ V = \frac{\sqrt 3}{4} \pi \left| \begin{matrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{matrix} \right| , \] wobei \((x_1, y_1, z_1)\) etc. die gegebenen Punkte sind.