Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut der Königl. technischen Hochschule in München. (Q1551969)

XII. Darstellung der elliptischen Function \(\varphi = am(u,k)\) durch eine Fläche. Von den stud. math. Th. Kuen und Chr. Wolf. Sieht man \(u\), \(\varphi\), \(k\) als rechtwinklige Coordinaten eines Punktes an, so definirt die Gleichung \[ u = \int_0^{\varphi} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \varphi}} \] die im Modell dargestellte Fläche. Für Moduln, die grösser als 1 sind, ist \(u\) dargestellt in der Form \[ u = \frac 1k \int_0^{\psi} \frac{d\psi}{\sqrt{1 - \frac{1}{k^2} \sin^2 \psi}}, \quad \sin \psi = k \sin \varphi. \] XIV. Ueber die auf die Kugel abwickelbaren Schrauben- und Umdrehungsflächen. Von stud. math. Kuen. Setzt man \[ \begin{aligned} \xi & = b\sin \frac ub \cos v,\\ \eta & = b \sin \frac ub \sin v,\\ \zeta & = b \cos \frac ub,\end{aligned} \] so sind \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) die Coordinaten eines Punktes der Kugel; und \(v\) und \(\frac ub\) geben die geographische Länge und das Complement der Breite desselben an. Dann ist das Quadrat des Linienelementes \[ d\sigma^2 = b^2 \sin \frac{u^2}{b} dv^2 + du^2. \] Unter einer Schraubenfläche versteht nun der Verfasser eine Fläche, welche von einer beliebigen starren Curve erzeugt wird, wenn dieselbe eine schraubenförmige Bewegung macht, also eine gleichzeitige Rotation um eine mit ihr fest verbundene Axe und eine Translation parallel dieser Axe, beide mit unveränderter Geschwindigkeit. Die Coordinaten eines Punktes einer solchen Schraubenfläche werden dann bei passender Wahl der Axen \[ \begin{aligned} x & = r \cos \varphi,\\ y & = r \sin \varphi,\\ z & = R + a \varphi,\end{aligned} \] wo \(R\) irgend eine Function von \(r\) ist; und zwar sind \(R\) und \(r\) die ebenen rechtwinkligen Coordinaten der Meridiancurve der Schraubenfläche, d. h. derjenigen ebenen Curve, in welcher jede durch die Schraubenaxe gelegte Ebene die Fläche schneidet, und \(2a\pi\) ist die Höhe eines Schraubenganges. Ist nun \(ds\) das Linienelement dieser Schraubenfläche, so wird \[ ds^2 = dr^2 \left[ 1 + \frac{r^2}{a^2 + r^2} \left( \frac{dR}{dr} \right)^2 \right] + (a^2 + r^2) \left[ d\varphi + \frac{adR}{a^2 + r^2} \right]^2, \] und die Schraubenfläche ist auf die Kugel abwickelbar, wenn \(ds^2 = d\sigma^2\) ist. Dies kann dadurch eintreten, dass \[ dr^2\left[ 1+ \frac{r^2}{a^2+r^2} \left(\frac{dR}{dr}\right)^2\right] = du^2, \] \[ a^2 + r^2 = c^2 b^2 \sin^2\left( \frac ub \right), \] \[ d\varphi + \frac{adR}{a^2 + r^2} = \frac{dv}{c} \] ist. Man kann über \(R\) so verfügen, dass diese drei Gleichungen erfüllt werden, und zwar liefert die zweite Gleichung \(r\) als Function von \(u\) und somit die erste \(R\) als Function von \(u\). Da hierdurch die Meridiancurve bekannt ist und ausserdem die Höhe des Schraubenganges, so ist das Problem im Wesentlichen gelöst, ohne dass es nöthig ist, die dritte Gleichung zu betrachten. Man findet nach Substitution von \[ y = b\cos \frac ub , \quad r^2 = c^2 b^2 - a^2 - b^2 \] \[ R = -bc\int \frac{dy}{\sqrt{c^2(b^2 - y^2)\left(1 - \frac{c^2}{b^2} y^2 \right) - a^2}} \] \[ + \frac{c^5}{b} \int \frac{y^2(b^2-y^2)dy}{(c^2b^2 - a^2 - c^2y^2\sqrt{c^2 (b^2 - y^2) \left( 1- \frac{c^2}{b^2} y^2\right) - a^2}}. \] Der Ausdruck für \(R\) ist ein elliptisches Integral, welches sich in drei Integrale der verschiedenen Gattungen zerlegt. Der Herr Verfasser stellt dieselben zum Zwecke der Berechnung vollständig durch \(\vartheta\)-Functionen dar. Ueber die erhaltenen Schraubenflächen ist noch folgendes zu sagen. Die Meridiancurve ist periodisch, die einzelnen Theile hängen zusammen durch Spitzen, deren Tangenten senkrecht zur Axe stehen, und die gleich weit von der Axe abstehen, wie überhaupt jede zwischen zwei Spitzen liegende Ranke symmetrisch ist. Jede solche Ranke beschreibt für sich eine Schraubenfläche, welche sich in eine Kugelzone abwickeln lässt, und es entsprechen den Parallelkreisen auf der Kugelzone gewisse Schraubenlinien. Die Kugelzone ist begrenzt durch zwei gleiche Parallelkreise. Nennt man das Complement der Breite für einen derselben \(\frac{u_0}{b}\), so ist \(b^2 \cos \frac{u_0^2}{b} = \beta^2\), wo \(\beta^2\) der kleinste derjenigen beiden Werthe von \(y^2\) ist, für welchen die Radicale des Integrals verschwinden. Auf die übrigen Theile der Kugel wickelt sich kein Theil der Schraubenfläche reell ab. Der grösste Werth von \(r\) entspricht derjenigen Schraubenlinie, welche sich auf den Aequator abwickelt, während der kleinste den Schraubenlinien entspricht, welche auf die Grenzkreise fallen; sie sind gegeben beziehungsweise durch die Gleichungen \[ r_1^2 = c^2 b^2 - a^2; \quad r_2^2 = c^2b^2\sin \frac{u_0^2}{b} - a^2. \] Zwischen den Constanten \(c\) und \(a\) existirt der Zusammenhang, dass \(c^2 b^2 - a^2>0\) sein muss, damit die Schraubenfläche reell werde. Wählt man \(a=0\), so reducirt sich die Schraubenfläche auf eine Rotationsfläche, welche durch die Constante \(c\) allein charakterisirt ist. In dem Ausdruck für \(R\) verschwindet alsdann das Integral dritter Gattung. Der Herr Verfasser hat nun für denselben Werth von \(v\), also für dieselbe Kugel, aber für verschiedene \(a\) und \(c\) Modelle angefertigt. Ein paar Druckfehler, die in den Formeln übersehen sind, werden bei aufmerksamem Lesen leicht erkannt; sie sind deshalb in dem Referat ohne besondere Notiz verbessert. XV. Schraubenfläche mit constantem negativen Krümmungsmass. Dieselbe wird erzeugt, indem man eine Tractrix um ihre Asymptote als Axe schraubt. Sie hat die Gleichungen \[ x = r\cos \varphi; \quad y = r \sin \varphi; z = m\varphi + c \text{lg} \frac{2+\sqrt{c^2-r^2}}{r} - \sqrt{c^2 - r^2}. \] \(r\) und \(\varphi\) sind die Parameter, \(m\) und \(c\) Constante, und zwar ist \(2\pi m\) die Höhe des Schraubenganges, \(c\) die Länge der Tangente der Tractrix. Das Krümmungsmass ist \[ - \frac{1}{c^2 + m^2}. \] Die Fläche bildet ein Gegenstück zu der vorigen, welche constantes positives Krümmungsmass besitzt. XVIII. Die Enveloppen geodätischer Linien auf dem verlängerten und auf dem abgeplatteten Rotationsellipsoid. Von Dr. A. v. Braunmühl. Der Herr Verfasser hat in Clebsch Ann. XIV. S. 557 (siehe F. d. M. Bd. XI. 1879. p. 539, JFM 11.0539.01) die Enveloppen der von einem Punkt ausgehenden geodätischen Linien der Rotationsflächen zweiten Grades genauer betrachtet. In der vorliegenden Notiz werden die elliptischen Integrale, auf deren Auswerthung es ankommt, auf die Normalform reducirt und es wird hierdurch die Berechnung vermittelt. XIX. Die vier Arten der Raumcurven dritter Ordnung. Von stud. math. Lange. Die Raumcurven dritter Ordnung werden nach ihrer Lage zur unendlich entfernten Ebene \(E_{\infty}\) wie folgt eingetheilt: 1) Die cubische Ellipse hat einen reellen Punkt mit \(E_{\infty}\) gemein. 2) Die cubische Hyperbel hat drei getrennte reelle Punkte mit \(E_{\infty}\) gemein. 3) Die cubisch - hyperbolische Parabel schneidet die \(E_{\infty}\) in einem Punkte und berührt sie in einem anderen Punkte. 4) Die cubische Parabel osculirt die \(E_{\infty}\) in einem Punkte. Ein anderer Fall als die vier genannten kann nicht eintreten. Der Satz, dass der Ort aller Secanten einer cubischen Raumcurve, welche von einem Punkte derselben ausgehen, ein Kegel zweiter Ordnung ist, welcher in einen Cylinder übergeht, wenn jener Punkt in's Unendliche rückt, führt leicht zu folgenden Schlüssen: 1) Durch die cubische Ellipse lässt sich nur ein reeller Cylinder zweiten Grades legen und zwar ein elliptischer und unzählig viele Kegel, deren jeder mit dem Cylinder eine Gerade gemein hat. Umgekehrt ist der Durchschnitt eines elliptischen Cylinders mit einem Kegel (zweiter Ordnung), die ausserdem eine Gerade gemein haben, eine cubische Ellipse. 2) Durch die cubische Hyperbel lassen sich drei hyperbolische Cylinder legen, von denen je zwei eine unendlich ferne Gerade gemein haben. [Es ist wohl nicht überflüssig, darauf hinzuweisen, dass der letztere Ausdruck nur im Sinne der perspectivischen Auffassung zu verstehen ist, wie sie streng z. B. in von Staudt's Geometrie der Lage entwickelt ist. Wenn man sagt, eine Fläche habe eine unendlich entfernte Gerade, so ist dadurch nur die Stellung eines Büschels von Parallelebenen angegeben, mit welchen parallel die Fläche in's Unendliche geht. Da ohne Rücksicht auf die strenge perspectivische Auffassung einige Aussprüche des Herrn Verfassers missverstanden werden könnten, so hält es Referent für nöthig, im Folgenden den Sinn jedesmal genau festzustellen. Anm. des Ref.] Der Sinn des obigen Ausspruches ist, dass eine Asymptotenebene des einen Cylinders mit einer Asymptotenebene des andern parallel ist. Die cubische Hyperbel kann demnach als Durchschnitt zweier solcher Cylinder oder auch als Durchschnitt eines hyperbolischen Cylinders mit einem Kegel, der ausserdem mit jenem eine Gerade gemein hat, erzeugt werden. 3) Durch die cubisch - hyperbolische Parabel lässt sich ein hyperbolischer und ein parabolischer Cylinder legen, welche (in perspectivischer Auffassung) eine unendlich entfernte Gerade gemein haben, d. h. welche so liegen, dass die Diametralebenen des parabolischen Cylinders einer Asymptotenebene des hyperbolischen parallel sind. Sie kann erzeugt werden als Durchschnitt zweier solcher Cylinder oder eines parabolischen Cylinders mit einem Kegel, mit dem er ausserdem eine Gerade gemein hat, oder auch eines hyperbolischen Cylinders mit einem Kegel, mit dem er eine Gerade gemein hat, wenn die durch die Kegelspitze parallel einer Asymptotenebene des Cylinders gelegte Ebene den Kegel berührt. 4) Durch die cubische Parabel lässt sich nur ein Cylinder und zwar ein parabolischer legen. Die Curve wird erzeugt als Durchschnitt eines Kegels, mit dem er eine Gerade gemein hat, wenn die durch die Kegelspitze gelegte Diametralebene des Cylinders den Kegel berührt. Nach diesen Gesetzen sind die Curven mit den Hülfsmitteln der darstellenden Geometrie und zwar jedesmal als Durchschnitt eines Cylinders und eines Kegels construirt. XX. Die sphärischen und die ellipsoidalen Curven einer Wellenfläche. Von Dr. Böklen. Zwei Paar confocaler Kegel, welche die secundären optischen Axen zu reellen Focallinien haben, und von denen das eine Paar das andere (rechtwinklig) schneidet, schneiden aus einem Mantel der Wellenfläche ein Viereck aus, in welchem die Entfernungen je zweier Gegenecken gleich sind. Jeder dieser Kegel schneidet den einen Mantel der Wellenfläche in einer sphärischen, den andern in einer ellipsoidischen Curve. Diese Curven, welche der Herr Verfasser eingehender in Schlömilch Z. XXIV. und XXV. behandelt hat, sind auf dem Modell dargestellt; ferner sind darauf die Nabelpunkte mit Hülfe einer von Herrn Mannheim (C. R. 5. Mai 1879) gegebenen Gleichung verzeichnet.