Géométrie des polynômes. (Q1551987)

Es handelt sich um die durch die Beziehung \(F(z) = 0\), wo \(F(z)\) eine ganze Function \(p^{\text{ten}}\) Grades von \(z\) bedeutet, vermittelte conforme Abbildung, die jedem Punkte \(L\) der Ebene eine Gruppe \(M\) von \(p\) Punkten zuordnet. Von den Resultaten der Untersuchung verspricht sich der Herr Verfasser Anwendungen auf die Theorie der algebraischen Gleichungen. Einleitungsweise wird die Abbildung der unendlich fernen Punkte, die der Kreise und Geraden behandelt. Rückt \(L\) in's Unendliche, so bilden die Punkte der Gruppe \(M\) die (unendlich fernen) Ecken eines regulären Polygons mit demjenigen (von der Lage von \(L\) unabhängigen) Punkte \(G\) als Mittelpunkt, welcher der Schwerpunkt der Gruppe \(M\) ist. Beschreibt \(L\) einen Kreis um \(L'\), so beschreibt jeder Punkt \(M\) eine ``Cassinoïde'' mit \(p\) Brennpunkten, d. h. eine algebraische Curve \(2p^{\text{ten}}\) Grades, deren Punkte von den dem Punkte \(L'\) entsprechenden Punkten \(M'\) Entfernungen haben, deren Product constant ist. Beschreibt \(L\) eine Gerade, so beschreiben die Punkte \(M\) die \(p\) hyperbolischen Aeste einer Curve \(p^{\text{ten}}\) Grades, die ``Stelloïde'' genannt wird, und deren Asymptoten von \(G\) ausgehend die Ebene in \(2p\) gleiche Winkelräume theilen. Eine besondere Rolle spielen die \(p-1\) Wurzelpunkte \(J\) der abgeleiteten Gleichung \(F'(z) = 0\) (Centralpunkte) und die diesen entsprechenden Punkte \(I\) (die kritischen Punkte). Um den Verlauf der Abbildungen beliebiger geschlossener Züge zu studiren, werden zunächst die Abbildungen der extremen Fälle, in denen der Zug in's Unendliche sich erweitert, resp. unendlich klein wird, behandelt; im letzteren Falle handelt es sich hauptsächlich darum, ob der Zug einen kritischen Punkt einschliesst oder nicht. Das Ergebnis lässt sich kurz dahin zusammenfassen, dass sich jeder unendlich kleine geschlossene Zug in ebensoviel Züge transformirt, als es verschiedene Punkte in der entsprechenden Gruppe giebt. Nach Vorausschickung noch einiger Hülfsbetrachtungen über die Vereinigungen und Zerlegungen der Curvenzüge, aus denen die Abbildung besteht, welche mit der Deformation des abgebildeten Zuges dann und nur dann eintreten, wenn derselbe kritische Punkte überschreitet, ist der Verfasser dann im Stande, zur Abbildung beliebiger geschlossener Züge überzugehen, bei deren Behandlung es hauptsächlich darauf ankommt, ob sie durch kritische Punkte gehen oder solche umschliessen. Dann wendet sich die Untersuchung nochmals der Abbildung von Geraden zu. In einem besonderen Abschnitte wird der specielle Fall \(p=3\) näher behandelt.