Synthetischer Beweis der Identität einer Tripelcurve mit dem Erzeugnis eines Kegelschnittbüschels und eines ihm projectiven Strahlbüschels. (Q1552184)

Für die im Titel genannte Identität hatte Herr Milinowski in Schlömilch's Z. XXIII. 327-336 (s. F. d. M. X. 1878. p. 397, JFM 10.0397.01) einen Beweis gegeben, der dort synthetisch genannt ist, aber dies eigentlich nicht ist. Deshalb veröffentlicht Herr Schur hier seinen rein synthetischen Beweis für die in Rede stehende, auch von Reye in seiner ``Geometrie der Lage'' und von Schröter in seinen ``Kegelschnitten'' (pag. 507) besprochene Identität. Man nehme ein Kegelschnittbüschel und ein ihm projectives Strahlbüschel an und auf der von diesen beiden Büschel erzeugten Curve dritter Ordnung drei beliebige Punkte \(x,\;y,\;z\). Wenn man dan durch einen vierten Punkt \(m\) der Curve alle möglichen Strahlen zieht, auf jedem dieser Strahlen die beiden sonstigen Schnittpunkte den auch durch \(x,\;y,\;z\) gehenden Kegelschnitt legt, so erhält man \(\infty^1\) Kegelschnitte, von denen der Verfasser syntetisch nachweist, dass sie ein Kegelschnittbüschel bilden, welches dem durch \(m\) gezogenen Strahlbüschel projectiv ist. Zweitens zeigt Herr Schur dann noch direct, dass das Erzeugnis eines Kegelschnittbüschels und eines ihm projectiven Strahlbüschels sich durch zwei in halb perspectiver Lage liegende Strahleninvolutionen erzeugen lässt.