Ueber eine Gattung von Configurationen in der Ebene und im Raume. (Q1552190)

In seiner Untersuchung ``Ueber eine Gattung merkwürdiger Geraden und Punkte bei vollständigen \(n\)-Ecken auf dem Kreise'' (Wien. Ber. 1878, s. F. d. M. X. p. 386, JFM 10.0386.02) war der Verfasser zu einer merkw\"rdigen Configuration von Punkten und Linien gelangt; in der gegenwärtigen Mittheilung macht derselbe auf die ganze Serie von Configurationen (d. h. Anordnungen von Geraden und Punkten, wo durch jeden Punkte eine bestimmte Anzahl Punkte finden) aufmerksam, welche hierdurch gewonnen sind. Es werden zwei Figuren abgeleitet, die durch Verallgemeinerung aus dem bekannten Satze über die perspectivische Lage zweier Dreiecke und der Bemerkung Hesse's hervorgehen, dass die drei Perspectivitätsaxen \(g_2\) dreier Dreiecke mit demselben Perspectivitätscentrum sich in einem Punkte \(T_3\) treffen. Liegen nämlich die Ecken dreier Vierecke auf vier durch einen Punkt gehenden Strahlen, so liefern die vier unter einander perspectivischen Dreieckstripel derselben vier Hesse'sche Punkte \(T_3\), welche wiederum in einer Geraden \(g_4\) liegen; andererseits: Liegen die Ecken von vier Vierecken auf vier durch einen Punkt gehenden Strahlen, so liefern dieselben, viermal zu dreien geordnet, vier Gerade \(g_4\), welche wiederum durch denselben Punkt \(T_4\) gehen. Man kann in der Verallgemeinerung weiter zu 5-, 6-Ecken u. s. w. fortschreiten, indem man abwechselnd die Anzahl der Ecken und Vielecke je um eine Einheit wachsen lässt. So gelangt man zu den Sätzen: 1) Construirt man \(n-1\) vollständige \(n\)-Ecke, deren Ecken auf \(n\) gegen einen Punkt convergirenden Strahlen liegen, so erhält man je eine Reihe von \(n-1\) vollständigen \((n-1)\)-Ecken in jede Combination dieser Strahlen zu \(n-1\) eingeschrieben, und jede dieser Reihen liefert einen Punkt \(T_{n-1}\); diese \(n\) Punkte \(T_{n-1}\) liegen alle in einer Geraden \(g_n\). 2) Werden \(n\) vollständige \(n\)-Ecke in der beschriebenen Lage angenommen, so treffen sich die für ihre \(n\) Combinationen zu je \(n-1\) construirten Geraden \(g_n\) in demselben Punkte \(T_n\). Von den so entstandenen Figuren liefert nun die erste eine Configuration von \(2n-1 \choose n-1\) Punkten, durch deren jeden \(n\) Gerade gehen, und von ebensoviel Geraden, auf deren jeder \(n\) Punkte liegen; die zweite dagegen eine solche von \(2n \choose n\) Punkten, deren jeder \(n\) Gerade, und von \(2n \choose n-1\) Geraden, deren jede \(n+1\) Punkte enthält. Durch eine leichte weitere Verallgemeinerung wird eine Configuration hergestellt, so dass auf jeder Geraden \(m\) Punkte liegen und nach jedem Punkte eine ganz beliebige Anzahl \(n\) von Geraden gehen. Diese Configuration -- wie ausdrücklich hervorgehoben wurd, keineswegs die allgemeinste von der genannten Eigenschaft -- kann man sich, wie der Herr Verfasser ausfḧrt, noch in anderer Weise entstanden denken. Schliesslich werden analoge Betrachtungen über räumliche Gebilde angestellt.