Ueber Involutionen \(n^{\text{ten}}\) Grades und \(k^{\text{ter}}\) Stufe. (Q1552443)

Wenn die Elemente einer rationalen ebenen oder Raum-Curve in einer solchen Wechselbeziehung stehen, dass durch Annahme von \(k\) Elementen weitere \(n-k\) Elemente \((n>k)\) so bestimmt erscheinen, dass diese mit jenen eine Gruppe von \(n\) Elementen bilden, von denen je \(k\) beliebige die übrigen \(n-k\) Elemente bestimmen, so nennt der Verfasser diese Art von Verwandtschaft eine Involution \(n^{\text{ten}}\) Grades und \(k^{\text{ter}}\) Stufe \((I_n^k)\). Hält man in einer \(I_n^k \; p(<k)\) Elemente fest, so bilden die variablen Elemente eine \(I_{n-p}^{ k-p}\); der Verfasser nennt sie der \(p\)-elementigen Gruppe adjungirt. Von den \(k\) Elementen, die eine Gruppe einer \(I_n^k\) bestimmen, kann man beliebig viele in ein \(k'\)-faches \((k' \leqq k)\) Element zusammenfallen lassen. Mit Hülfe des Chasles'schen Correspondenzprincips ergeben sich die Sätze: Beliebige \((k-l)\) Elemente kommen in \((l+1)\; (n-k)\) Gruppen mit je einem \((l+1)\)-fachen Elemente vor. Jedes Element kommt in \(k(n-k)\) Gruppen mit je einem \(k\)-fachen Elemente vor. Die Zahl der \((k+1)\)-fachen Elemente einer \(I_n^k\) ist \((k+1)\; (n-k)\). Eine rationale ebene Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \(C_n\) wird von einer Geraden in \(n\) Punkten getroffen, die eine ``gerade Gruppe'' der \(C_n\) bilden. Alle geraden Gruppen der \(C_n\) bilden eine \(I_n^2\). Eine rationale Raumcurve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung wird von einer Ebene in \(n\) Punkten getroffen, die eine ``ebene Gruppe'' der Curve bilden. Alle ebenen Gruppen derselben bilden eine \(I_n^3\). Die Anwendung der obigen Sätze auf diese Fälle ergiebt die Classenzahl, die Zahl der Wendepunkte resp. Wendeschmiegungsebenen der rationalen ebenen und Raum-Curven, ferner die Zahl der durch eine gegebene Anzahl von Punkten gehenden eine rationale Curve mehrpunktig berührenden Curven resp. Flächen zweiter Ordnung. Die Gleichung einer \(I_n^k\) ist \[ f_0 +\lambda_1 f_1 +\lambda_2 f_2 +\cdots +\lambda_n f_n =0, \] wo \(\lambda_1, \; \lambda_2 \cdots, \; \lambda_k\) lineare Parameter, \(f_0, \; f_1 \cdots, \; f_k\) Polynome des \(n^{\text{ten}}\) Grades darstellen. Sie zeigt, dass eine \(I_n^k\) unendlich viele Involutionen desselben Grades und aller niedrigeren Stufen enthält und dass sie durch \((k+1)\) beliebige Gruppen, die keiner Involution niederer Stufe angehören, bestimmt ist. In einer \(I_n^k\) kommen Gruppen von \(k\) Elementen von der Art vor, dass erst durch Hinzunahme noch eines Elements eine Gruppe von \(n\) Elementen der \(I_n^k\) bestimmt ist. Solche \(k\) Elemente, die also in unendlich vielen Gruppen der \(I_n^k\) bestimmt ist. Solche \(k\) Elemente, die also in unendlich vielen Gruppen der \(I_n^k\) vorkommen, nennt der Verfasser eine ``neutrale Gruppe'' der Involution. Es gilt der Satz: Je \((k-2)\) beliebige Elemente einer \(I_n^k\) kommen in \(\frac{ (n-k)\; (n-k+1)}{ 2}\) neutralen Gruppen vor. Diese Zahlbestimmung, sowie diejenige der Gruppen einer \(I_n^k\), deren jede \(k\) Doppelelemente enthält, findet ihre Anwendung in der Bestimmung der Zahl der mehrfachen Punkte, Tangenten und Tangentialebenen der rationalen Curven, sowie der Zahl der zwei- und dreipunktigen Sekanten der rationalen Raumcurven. Schliesslich wird die Frage behandelt, wie man zu den \(k\) beliebig gewählten Elementen einer Gruppe einer \(I_n^k\) die übrigen \(n-k\) Elemente finden kann.