A quincuncial projection of the sphere. (Q1552445)

Bedeutet \(\vartheta\) die geographische Länge, \(l\) die Breite eines Punktes, und setzt man \[ \cos \varphi^2 =\frac{ \sqrt{ 1-\cos l^2 \cos \vartheta^2} -\sin l}{ 1+\sqrt{ 1-\cos l^2 \cos \vartheta^2} }, \] dann ist \(\tfrac 12 F(\varphi)\) der Werth einer der rechtwinkligen Coordinaten des abgebildeten Punktes, oder einfacher: Ist \(p\) die Polardistanz und setzt man \[ \cos\mathrm{am\,} z =\text{tg\,} \frac p2 e^{ i\vartheta}, \] wo der Winkel des Modulus \(=\frac{\pi}{4}\) ist, so stellt der Punkt \(z= x+iy\) die Abbildung dar. Die Kugel bildet sich ab als ein Quadrat, in dessen Mittelpunkt etwa der Nordpol liegt, während der Südpol nach jeder der vier Ecken fällt, der Aequator aber in dasjenige Quadrat abgebildet wird, dessen Seiten die Mitten des grösseren Quadrates verbinden. Die Abbildung ist überall endlich und conform bis auf die vier auf dem Aequator liegenden Verzweigungspunkte; sie setzt sich doppelt periodisch durch die Bildebene fort. Als besonderen Vortheil hebt der Verfasser hervor, dass diejenigen Theile, deren linearer Massstab grösser ist als das Doppelte des Massstabs im Centrum, nur 9 Procent der Oberfläche ausmachen, während es bei der stereographischen 50 Procent, bei der Mercator-Projection 13 Procent sind, und dass die grössten Kreise sich durchschnittlich in schwach gekrümmte Curven abbilden. Das letztere ist aber insofern zu beschränden, als dieselben in der Nähe der Verzweigungspunkte eine scharfe Umbiegung erfahren. Ob die Abbildung für die Praxis sich besonders eignen wird, ist wohl zu bezweifeln, dagegen giebt sie, bezogen auf die stereographische, eine sehr einfache Darstellung der Verlaufes eines elliptischen Integrals erster Gattung. Dem Aufsatze ist eine Karte und die zur Construction dienenden Tabellen beigefügt.