Die Mechanik nach den Principien der Ausdehnungslehre. (Q1552451)

Die elementaren Begriffe und Methoden der Ausdehnungslehre verdanken ihre Ausbildung hauptsächlich den Untersuchungen, welche Grassmann auf dem Gebiete der Mechanik anstellte, angeregt durch die ausserordentliche Einfachheit der Rechnungen in seiner 1840 verfassten Prüfungsarbeit über die Theorie der Ebbe und Fluth. Gleichwohl finden sich von diesen Untersuchungen in Grassmann's Werken nur vereinzelte Proben, nämlich Anwendungen auf die Mechanik in der ``Ausdehnungslehre von 1844'', und eine zusammenhängende Darstellung der mechanischen Grundgesetze unter dem Titel ``Grundriss der Mechanik (für den Unterricht in Prima)'' als Programm des Stettiner Marienstift-Gymnasiums 1867. Es war jedoch noch in seinen letzten Lebensjahren ein Lieblingsgedanke des verstorbenen Verfassers, in einer umfassenden und mehr in's Detail eingehenden Arbeit die Mechanik nach den Principien der Ausdehnungslehre darzustellen, und als zunehmende Kränklichkeit die Ausführung dieses Planes verhinderte, fand er wenigstens noch Zeit, in der vorstehend genannten Abhandlung die wichtigsten der für jene Arbeit nothwendigen Begriffe und Methoden in einer freilich mehr andeutenden als ausführenden Weise bekannt zu machen und dem Leser bei dieser Gelegenheit einen Einblick in den Gedankengang jener interessanten, bisher noch völlig unbekannten Arbeit über Ebbe und Fluth zu geben. Nachdem in \S 1 die für die folgenden Rechnungen nöthigen Begriffe der Ausdehnungslehre gegeben sind, wird in \S 2 als Grundgleichung der Mechanik die Formel \(d^2 x=p\) aufgestellt, worin \(x\) die Verbindungsstrecke eines festen und eines beweglichen Punktes bedeutet, und \(p\) eine Strecke, durch welche die Wirkung der bewegenden Ursache dargestellt wird. (Von vornherein ist zu bemerken, dass die Interpretation der Gleichungen noch einfacher wird, wenn statt der Strecke \(x\) der bewegliche Punkt \(X\) selbst in die Rechnung eingeführt wird. Im Interesse des Lesers, welchem das Rechnen mit Zahlen resp. Strecken geläufiger ist, als das mit Punkten, hat Grassmann hier von der Einführung der Punkte Abstand genommen. Ein späterer Aufsatz, in welchem diese Betrachtungsweise nachgeholt werden sollte, ist nicht mehr erschienen.) Die in einem materiellen Punkte liegende Ursache der Bewegung eines anderen materiellen Punktes wird ``einfache Kraft'' genannt, wenn ihre Wirkung nur von der gegenseitigen Lage beider Punkte abhängt. Die Grösse dieser Wirkung ist dann eine Function der Entfernung. Zwei Punkte \(A\) und \(B\) haben gleiche Masse, wenn \(A\) auf \(B\) dieselbe Wirkung übt, wie \(B\) auf \(A\). In \S 3 wird die Bewegung eines freibeweglichen Vereins von \(m\) materiellen Punkten betrachtet. Die Kräfte, mit welchen die Punkte des Vereins aufeinander wirken, werden als ``innere'' von den anderen ``äusseren'' unterschieden. Dann ist, wenn \(s\) die von dem festen nach dem Schwerpunkte des Vereins gezogene Strecke und \(p\) die Summe aller äusseren Kräfte bedeutet, \(\delta^2 s =\frac 1m \cdot p\) die Gleichung der Bewegung des Schwerpunktes. Die Gleichung \[ \delta \varSigma \tfrac 12 ( \delta x)^2 =\varSigma [p \mid \delta x] \] sagt, dass die Zunahme der lebendigen Kraft während irgend einer Zeit gleich ist der Arbeit aller Kräfte während dieser Zeit. Darauf wird die Kraft \(p\) als partieller Differentialquotient des Potentials \(U\) nach der dem Punkte \(X_1\) entsprechenden Strecke \(x_1\) dargestellt und hierdurch die rechte Seite der letzten Gleichung auf die Form \[ V+\int \varSigma \;\left( \frac{ \partial }{ \partial x} U \mid \delta x \right) \] gebracht, wo \(V\) das vollständige innere, \(U\) das vollständige äussere Potential ist. Im \S 4 wird die Bewegung eines beschränkt beweglichen Vereins betrachtet. Die Beschränkung erfolgt erstens durch Bedingungsglichungen \((L =0, \; M=0, \ldots)\), welchen die gegenseitige Lage der Punkte unterworfen ist, zweitens durch Kräfte, welche die Punkte, sobald sie sich aus diesen Lagen entfernen, in dieselben zurücktreiben. Als Gleichung der Bewegung ergiebt sich dann \[ \varSigma [( \delta^2 x -p) \mid dx] =0. \] Die Bedingungsgleichungen \(L=o, \ldots\) nebst der eben aufgestellten Bewegungsgleichung umfassen auch, wie in \S 5 auseinandergesetzt wird, den Fall des Gleichgewichts der Kräfte, sobald dieselben nur von der Lage der Punkte, nicht aber von der Zeit abhängig sind. Um alsdann die Bedingungen des Gleichgewichts zu finden, hat man nur die Beschleunigungen und Geschwindigkeiten aller Punkte des Vereins gleich Null zu setzen. Umgekehrt jedoch constituiren diese Specialgleichungen kein Gleichgewicht, sondern nur eine schwingende Bewegung der Punkte um einen Gleichgewichtszustand, sobald die Kräfte mit der Zeit variiren. Diese schwingende Bewegung wird dann genauer bestimmt durch die Forderung, dass die Summe der während einer hinreichend grossen Zeit thätigen lebendigen Kräfte ein Minimum sei, wodurch gleichzeitig die kleinste Beweglichkeit des Vereins bedingt ist. Diese Art der Bewegung wird ``mittlere'' genannt. Analytisch wird sie bestimmt durch die sogenannte ``mittlere Integration'' einer Differentialgleichung. Der Begriff dieser Integration wird zuerst an dem Beispiel einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung klar gemacht. Es mögen \(n\) unabhängige Variable \(u_1, \ldots u_n\) mit einer unabhängigen Variablen \(t\) durch \(n\) Gleichungen von der Form \[ \delta^2 u_r +a_{r,1} \delta u_1 +\cdots +a_{ r,n} \delta u_n +b_{ r,1} u_1 +\cdots + b_{ r,n} u_n =f_r t \] verbunden sein, wo \(r\) von 1 bis \(n\) variirt und die Differentiale nach \(t\) genommen sind. Dann werden die rechten Seiten auf die Form \(g_r e^{kt}\) gebracht und die Grössen \(u\) in Gliedern von der Form \(ce^{ht}\) dargestellt. Dann liefern die Glieder mit dem Factor \(e^{kt}\) das mittlere Integral, und man erhält die \(n\) Gleichungen \[ u_r =y_r e^{kt}, \] worin die Grössen \(y\) durch die \(n\) Gleichungen \[ k^2 y_r +ka_{r,1} y_1 + \cdots + ka_{r,n} y_n +b_{r,1} y_1 + \cdots + b_{r,n} y_n =g_r \] bestimmt sind. (Setzt man \(u_r =z_r e^{ht}\), wo \(h \gtrless k\) ist, so sind die rechten Seiten der zwischen den \(z\) bestehenden Gleichungen gleich Null, und diese Gleichungen liefern eine Gleichung \(2n^{\text{ten}}\) Grades in \(h\), wodurch \(h\) bestimmt und die allgemeine Integration vollendet ist.) Für den vorliegenden Fall wird nun die oben angenommene Differentialgleichung noch in der Weise verändert, dass \[ ge^{ kt} =c . \cos kt + c' \sin kt \] gesetzt wird. Ein Glied von dieser Form wird ``elliptisches Glied'' und \(k\) sein ``Zeiger'' genannt. Es wird dann bewiesen, dass die durch mittlere Integration erhaltenen Gleichungen gleichzeitig die Bedingungsgleichungen der mittleren Bewegung sind, und das Gesetz aufgestellt: ``Wenn die Bewegung eines Vereins von Punkten durch lineare Differentialgleichungen dargestellt wird, so entsprechen den elliptischen Gliedern, welche in dem Ausdruck der Kraft vorkommen, elliptische Gleider von denselben Zeigern in allen Strecken, welche von einem festen Punkte nach den beweglichen Punkten gezogen sind, und zwar sind die Coefficienten dieser Gleider durch die gegebenen Gleichungen vollkommen bestimmt, und ausser diesen Gliedern treten bei der mittleren Bewegung keine anderen hervor.'' Zum Schluss wird diese ganze Theorie auf das Problem der Ebbe und Fluth angewendet, und der Satz abgeleitet: ``Die Bewegung, welche jeder Punkt des Meeres bei der Ebbe und Fluth vollendet, ergiebt sich durch die Interferenz von vier elliptischen Bewegungen, von denen zwei dieselbe Umlaufszeit haben, wie die scheinbare Umlaufszeit der Sonne und des Mondes beträgt, und die zwei anderen eine halb so grosse Umlaufszeit.'' Es zeigt sich dann, dass, wenn nur die senkrechte Bewegung eines Punktes der Meeresfläche bestimmt werden soll, die vierund zwanzig Constanten der vier elliptischen Glieder sich auf acht reduciren, in Uebereinstimmung mit Laplace Méc. cél. IV. 3. Am Schlusse ist angedeutet, wie dadurch, dass statt der Punkte \(X_1 \ldots X_m\) eine stetige räumliche Masse angenommen wird, die Oberfläche des Meeres zur Zeit \(t\) analytisch dargestellt werden kann. Die Form dieser Gleichung ist \(y^2 =x^2 +2 xz\), wo \(z\) aus fünf elliptischen Gliedern besteht.