Die Bildung affiner Figuren durch ähnlich-veränderliche Systeme. (Q1552457)

Die Bewegung eines ähnlich-veränderlichen Systems ist durch die Bewegung zweier Systempunkte bestimmt. Werden dieselben so geleitet, dass sie affine Punktreihen durchlaufen, so beschreiben alle Systempunkte affine Punktreihen. Dieses Gesetz ist zuerst von Herrn Burmester (Schlömilch Z. XXIV. s. F. d. M. X. 1878. p. 587, JFM 10.0587.04) bemerkt worden. Der Verfasser gelangt hierzu, indem er von der Untersuchung zweier affiner Systeme ausgeht. Zwei solche Systeme haben einen selbstentsprechenden Punkt, den Affinitätspol, und zwei in ihm sich schneidende selbstentsprechende Gerade. Bestimmt man zwei affine Systeme dadurch, dass man einem Dreieck ein anderes Dreieck als affines Gebilde entsprechen lässt, so hat der Affinitätspol zu den drei ähnlichen Systemen, für welche die Vervindungsstrecken der homologen Ecken der Dreiecke entsprechende Gerade sind, eine besondere Beziehung. Er fällt nämlich mit dem Wendepol dieser drei Systeme zusammen, so dass sich der Affinitätspol als Wendepol dreier ähnlicher Systeme construiren lässt. Nachdem der Verfasser noch andere Relationen zwischen diesen Systemen und jenen affinen Gebilden hergestellt hat, führt er zwei Punkte so, dass sie affine Punktreihen durchlaufen, und untersucht die durch jene Punkte bestimmte Bewegung eines ähnlichen Systems. Es zeigt sich, dass der Wendekreis in den verschiedenen Phasen der Bewegung des ähnlichen Systems aus denselben Punkten sich zusammensetzt, dass also der Wendekreis ein Systemkries des ähnlich-veränderlichen Systems ist. Die Polcurve fällt mit dem Wendekriese zusammen, die Polbahn aber steht zu der Fusspunktcurve, welche der vom Wendekriesmittelpunkt beschriebenen Trajectorie in Bezug auf den Affinitätspol angehört, in der Beziehung, dass sie mit ihr nach dem Verhältnis von 2:1 ähnlich ist und mit ihr den Affinitätspol als Aehnlichkeitspol besitzt. Weiter ergiebt sich, dass, wenn zwei Punkte eines ähnlich-veränderlichen Systems gerade Linien oder affine Punktreihen durchschrieten, die Bahnen aller Punkte affin sind. Der Affinitätspol zweier beliebiger Bahnen ist der gemeinschaftliche Schnittpunkt aller Wendekriese, und die selbstentsprechenden Geraden dieser Bahnen und die Verbindungslinie der in ihnen bewegten Punkte schneiden sich auf dem Wendekriese. Nachdem auf Grund der entwickelten Sätze einige Relationen zwischen den Krümmungen in entsprechenden Punkten affiner Curven gegeben sind, werden die Eigenschaften solcher ähnlichen Systeme untersucht, in welchen die Trajectorien affine Gerade oder Kegelschnitte sind. In Betreff der Sätze, die sich bei dieser besonderen Leitungsform des Systems ergeben, muss auf die Arbeit selbst verwiesen werden.