Ueber die Festlegung projectiv-veränderlicher ebener Systeme. (Q1552459)

Im VI. Bande von Clebsch Ann. p. 205 erwähnt Clebsch die Aufgabe: Auf acht in einer Ebene gegebenen Geraden acht Punkte so zu bestimmen, dass sie acht gegebenen Punkten eines ebenen Systems collinear entsprechen. Mit dieser Aufgabe, von der Clebsch weder die Lösung gegeben noch die Möglichkeit oder Bestimmtheit ihrer Lösung dargethan hatte, beschäftigt sich Herr Burmester von folgenden Gesichtspunkten ausgehend. Er betrachtet ein collinear-veränderliches System, d. h. ein System, welches sich so bewegt und in sich so verändert, dass es mit einem bestimmten ebenen System, z. B. dem System im Anfangszustand, stets die Collineationsverwandtschaft bewahrt, und stellt sich die Frage: ``Ist noch eine Bewegung eines collinear-veränderlichen Systems möglich, wenn acht Systempunkte auf acht gegebenen Geraden gleiten sollen, oder kann das System nur in einer bestimmten Lage der Bedingung genügen, dass acht seiner Systempunkte auf acht gegebenen Geraden liegen?'' Bei der Untersuchung dieser Frage geht er von folgendem Satze aus, der in Schlömilch Z. XX. p. 381 f. (s. F. d. M. VII. 1875. p. 535 f., JFM 07.0535.01) von ihm hergeleitet worden ist: ``Sind drei Punkte eines collinear-beweglichen Systems fest, so sind alle Bahncurven der beweglichen Systemen, welche die drei festen Punkte als selbstentsprechende Punkte besitzen.'' Im Besonderen ergiebt sich aus diesem Satz: ``Sind drei Systempunkte eines collinear-veränderlichen Systems fest und bewegt sich ein Systempunkt auf einer Geraden, so erzeugen alle beweglichen Systempunkte collineare gerade Punktreihen, von denen entsprechende Punkte auf den drei durch die drei festen Punkte bestimmten festen Systemgeraden liegen, und alle beweglichen Sytempunkte umhüllen Kegelschnitte, welche die festen Systemgeraden berühren. Eine andere Grundlage gewinnt er für die Untersuchung durch folgendes Gesetz: Wenn vier Systempunkte sich auf vier Geraden so bewegen, dass sie vier collineare Punktreihen erzeugen, welche vier entsprechende Punkte auf einer sich selbst entsprechenden Geraden zweier Systemphasen haben, so bleiben drei Systempunkte fest. Nunmehr steigt Herr Burmester zur Lösung der oben gestellten Frage auf durch Entwickelung einer Reihe von Sätzen, die, um seinen Gedankengang zu kennzeichnen, hier Platz finden mögen: Ein collinear-veränderliches ebenes System ist im Allgemeinen unbeweglich, 1) wenn drei Systempunkte fest und zwei Systempunkte gezwungen sind, auf zwei festen Geraden zu bleiben, 2) wenn zwei Systempunkte fest und vier Systempunkte gezwungen sind auf vier festen Geraden zu bleiben, 3) wenn ein Systempunkt fest und sechs Systmpunkte gezwungen sind, auf sechs festen Geraden zu bleiben, und endlich 4) wenn acht Systempunkte genöthigt sind, auf acht gegebenen Geraden zu bleiben. In allen vier angeführten Fällen ist also eine Bewegung des collinear-veränderlichen Systems nicht mehr möglich, sondern es giebt eine bestimmte Lage, in der das System den betreffenden Bedingungen genügt. Diese Lage ist eindeutig bestimmt und wird durch lineare Construction gewonnen. Die nach dem Principe der Reciprocität zu bildenden Gesetze finden in der Arbeit gleichfalls Berücksichtigung; es wird also unter Anderem auch dargethan, dass ein collinear-veränderliches ebenes System unbeweglich ist, wenn acht Systemgerade gezwungen sind, durch acht feste Punkte zu gehen. Dieser Forderung kann also ein System nur in einer bestimmten Lage genügen, und auch diese Lage ist durch lineare Construction anzugeben. Da Herr Burmester auch die besonderen Ergebnisse für analoge Fragen, die sich für affin-veränderliche und ähnlich-veränderliche Systeme stellen, in Betracht zieht, so hat er diesen drei Arten von Systemen die gemeinsame Bezeichnung ``projectiv-veräderliche ebene Systeme'' gegeben und demgemäss die Abhandlung betitelt ``über die Festlegung projectiv-veränderlicher ebener Systeme.'' Endlich sei noch bemerkt, dass Herr Burmester bei Gelegenheit der Veröffentlichung einer Arbeit: ``Ueber das bifocal-veränderliche System'' (Clebsch Ann. XVI. S. 90 siehe oben) in einer Anmerkung (S. 110) selbst bemerkt, dass die in obiger Abhandlung enthaltenen Fragen theilweise von Seidewitz in Grunert's Archiv Bd. IX. p. 206 und ausführlich von Herrn Schröter in Borchardt J. LXII. p. 215 behandelt worden sind.