On the elastic vibrations of an isotropic sphere not subject to external forces (Q1552644)

Für die Verrückungen \(u, v, w\) eines Punktes \((x, y, z)\) setzt der Verfasser, wie es Clebsch in Borchardt J. LXI. gethan hat, \[ u= \frac{ \partial P}{ \partial x} +\frac{ \partial W}{ \partial y} -\frac{ \partial V}{ \partial z}, \] \[ v= \frac{ \partial P}{ \partial y} +\frac{ \partial U}{ \partial z}-\frac{ \partial W}{ \partial x}, \quad w=\frac{ \partial P}{ \partial z} +\frac{ \partial V}{ \partial x} -\frac{ \partial U}{ \partial y}, \] und bestimmt die vier Functionen \(P, U, V, W\) durch die Bedingung, dass jede der vier Gruppen \[ u_1 =\frac{ \partial P}{ \partial x}, \quad u_2 = \quad 0 \;\; , \quad u_3 =-\frac{ \partial V}{ \partial z}, \quad u_4 = \quad \frac{ \partial W}{ \partial y}, \] \[ \;\;v_1 =\frac{ \partial P}{ \partial y}, \quad v_2 =\quad \frac{ \partial U}{ \partial z}, \quad \; v_3 = \quad 0 \quad, \quad v_4=-\frac{ \partial W}{ \partial x}, \] \[ \;\;w_1 =\frac{ \partial P}{ \partial z}; \quad w_2 =-\frac{ \partial U}{ \partial y}; \quad w_3 = \quad \frac{ \partial V}{ \partial x}; \quad w_4 = \quad 0 \quad \] eine mögliche Schwingung des Körpers darstellt. Man hat dann \[ \frac{ \partial^2 P}{ \partial t^2} =b^2 \varDelta P, \] und \(U, V, W\) genügen der Gleichung \(\frac{ \partial^2 \varrho}{ \partial t^2} =a^2 \varDelta \varphi\). Dadurch ist die Bewegung des Körpers in eine longitudinale Schwingung und in drei transversale zerlegt. Für die Functionen \(P, U, V, W\) werden nun die Anfangsbedingungen und die Grenzbedingungen in Bezug auf die Oberfläche, falls auf diese keine Druckkräfte wirken, aufgestellt. Nach Einführung von Polarcoordinaten wird die Longitudinalschwingung der Kugel untersucht. Dabei wird gefunden, dass diese Schwingung der Kugel untersucht. Dabei wird gefunden, dass diese Schwingung in zwei Schwingungen zerlegt werden kann: \(P= Q+S\), von welchen die eine \(Q\) in der Richtung des Radius erfolgt und ausser von der Zeit nur von der Entfernung vom Mittelpunkt abhängt, während bei der anderen die Oberfläche der Kugel sich nicht ändert, bez. sich nur in sich selbst bewegen soll. Diese zweite Schwingung wird wieder in zwei Einzelschwingungen zerlegt, von welchen eine aber keine mögliche ist. Die specielle Interpretation des Bewegungsvorganges wird für die Schwingung \(Q\) gegeben. Bei den transversalen Schwingungen der Kugel zeigt sich, dass jede derselben in zwei zerlegt werden kann, von welchen aber die eine von grösserer Wichtigkeit ist, nämlich die, für welche \(U, V, W\) nur von der Zeit und von der Entfernung des Punktes \((x, y,z)\) vom Mittelpunkte abhängen. Bei dieser Schwingung bewegt sich jede Kugelfläche \(r=\) const. in sich selbst, ohne dass die relative Lage der Punkte in ihr sich ändert. Der Verfasser weist ferner darauf hin, dass das Problem für das Rotationsellipsoid (ebenso für den elliptischen Cylinder) um vieles verwickelter wird, indem statt der Kugelfunctionen und der Bessel'schen Functionen solche auftreten, welche einer Gleichung \[ \omega (1- \omega) \frac{ d^2 L}{ d \omega^2} + \left[ 1+m -(m +\tfrac 32 ) \omega \right] \frac{ dL}{ d\omega} -(a -b \omega) L=0 \] genügen.