On the elastic vibrations of an isotropic sphere (Q1552645)

Der Verfasser äussert seine Ansichten über die bezüglichen Arbeiten von Lamé, Clebsch und Henneberg. Er geht von den Gleichungen aus (sie mögen mit (\(A\)) bezeichnet werden), welche Lamé für die Schwingungen einer isotropen, elastischen Kugel gegeben hat. Damit ist für das Problem vorausgesetzt, dass die etwa vorhandenen äusseren Kräfte von der Zeit unabhängig sind. Ferner werden die Oberflächenbedingungen (\(B\)) hergestellt. Bezeichnet man mit \(\omega_1^2\) und \(\omega_2^2\) die Verhältnisse der beiden Elasticitätsconstanten zur Dichtigkeit, so kann das Gleichungssystem \((A)\) in zwei Systeme \((A_1)\) und \((A_2)\) zerlegt werden; \((A_1)\) giebt den Theil der Componenten der Verrückung, welcher allein von \(\omega_1\), und \((A_2)\) den anderen Theil, welcher nur von \(\omega_2\) abhängt. \((A_1)\) repräsentirt longitudinale, \((A_2)\) transversale Schwingungen. Das Problem zerfällt somit in drei: Man hat zu bestimmen: 1) ein Werthsystem \(u_1, v_1, w_1\), welches den Gleichungen \((A_1)\) und \((B)\) genügt, 2) ein Werthsystem \(u_2, v_2, w_2,\) welches die Gleichungen \((A_2)\) und \((B)\) erfüllt, 3) ein Werthsystem \(u= u_1 +u_2, \; v= v_1 +v_2 , \; w=w_1 +w_2,\) so dass \(u_1, v_1, w_1\) den Gleichungen \((A_1), u_2, v_2, w_2\) den Gleichungen \((A_2)\) und \(u_1 +u_2, \; v_1 +v_2, \; w_1 +w_2\) den Gleichungen \((B)\) genügen. Das erste Werthsystem liefert reine Longitudinalschwingungen, das zweite reine Transversalschwingungen und das dritte entspricht coexistirenden longitudinalen und transversalen Schwingungen. Von sechs speciellen möglichen Werthsystemen von \(u_1, v_1, w_1\) genügt nur eins allen Anforderungen, nämlich \(u_1, v_1=w_1=0.\) Bei reinen Longitudinalschwingungen bewegt sich daher jedes Kugeltheilchen nur in der Richtung des Radius und die auf derselben Kugelfläche liegenden Theilchen erleiden die gleiche Verrückung. Als Knotenflächen treten Kugelflächen auf, und die Schwingungszahlen hängen von beiden Elasticitätsconstanten ab. Für die reinen Transversalschwingungen hat man \(u_2=0, v_2, w_2\). Die einzelnen Kugeltheilchen erleiden Verrückungen senkrecht zum Radius. Als Knotenflächen treten im Allgemeinen concentrische Kugelflächen auf, doch sind es bei reinen Torsionsschwingungen Kreiskegelflächen, deren gemeinsame Spitze mit dem Mittelpunkt zusammenfällt. Die Schwingungszahlen hängen nur von einer Elasticitätsconstante \((\omega_2)\) ab. Schliesslich werden der Werth der Volumenänderung und die Werthe der Componenten einer Verrückung des dritten Zustandes aufgestellt. Der eine Theil in diesen Ausdrücken für \(u, v, w\) entspricht der longitudinalen, der andere der transversalen Verrückung. Knotenflächen treten nicht auf. Die Schwingungszahlen sind von beiden Elasticitätsconstanten abhängig und verschieden von denen der beiden ersten Schwingungszustände.