Note sur la détermination des racines imaginaires des équations algébriques. (Q1552974)

Durch Einführung von \(x=\varrho e^{\theta i}\) stellt Herr Villarceau (JFM 10.0058.02) die algebraische Gleichung in der Form \[ \sum_{k=0}^m a_k {\varrho}^k e^{\theta ki}=0 \] dar, multiplicirt dann mit \(e^{-p\theta i}\) und erhält \[ \sum_{\lambda=0}^m a_{\lambda} {\varrho}^{\lambda} \cos(p-\lambda) \theta=0, \, \sum a_{\lambda} {\varrho}^{\lambda} \sin(p-\lambda)\theta =0. \] Giebt man dem \(p\) die \(m+1\) Werthe \(0,1,2,\dots m\), dann erhält man \((m+1)\) in \(\cos\theta, \cos2\theta, \dots \cos m\theta\) lineare Gleichungen; eliminirt man die Cosinus, so erhält man die Schlussgleichung für \(\varrho\), welche freilich in Folge der Eliminationen auch fremde Wurzeln liefern wird. Herr Farkas zeigt, dass diese fremden Wurzeln, sofern die ursprüngliche Gleichung keine reellen Wurzeln besitzt, stets negative oder imaginäre Werthe haben, und dass auch umgekehrt jede positive Wurzel der Schlussgleichung wirklich einen zur Gleichung \(\Sigma a_k {\varrho}^k e^{i\theta k}=0\) gehörigen Werth darstellt.