Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen. (Q1553005)

In Betreff der Theorie der endlichen Gruppen von vertauschbaren Elementen hatte Gauss berits gezeigt, dass jede Gruppe in primäre Gruppen, deren Ordnungen relative Primzahlen zu einander sind, nur auf einen Weise zerlegt werden könne. Von Herrn Schering wurde dann bewiesen, dass jede Gruppe auf mehrfache Weise in elementare zerlegt werden kann, von deren Ordnungen jede durch die folgende theilbar ist. Die Verfasser bedienen sich zur Veranschaulichung ihrer Untersuchungen über Gruppen des Beispiels der Zahlenklassen, die in Bezug auf einen Modul \(M\) incongruent und relativ prim zu demselben sind. So gelingt es ihnen zunächst die Gauss'schen und Schering'schen Theoreme auf einem neuen und einfachen Wege zu beweisen. Insbesondere stellen sie sich die Aufgabe, die Schering'sche und Gauss'sche Zerlegung in ihrem Zusammenhange weiter zu erforschen. Es lässt sich zeigen, dass, wie man auch eine nicht irreducibele Gruppe in irreducibele, d. h. gleichzeitig primäre und elementare Factoren zerlegen mag, doch in je zwei verschiedenen Zerlegungen die Factoren einander so zugeordnet werden können, dass je zwei entsprechende von gleicher Ordnung sind. Hiernach erscheinen diese Ordnungen als Invarianten der Gruppe. Nachdem noch die irreducibelen Factoren in \S9 einer genaueren Charakterisirung unterworfen sind, in \S10 durch die Verbindung der Theorie der Gruppen mit der der bilinearen Formen ein neuer Gesichtspunkt eröffnet. In den beiden letzten Paragraphen wenden die Verfasser die von ihnen dargelegte Theorie auf das Beispiel der Potenzreihe in Bezug auf einen zusammengesetzten Modul, sowie auf die Untersuchung der Potenzreihe complexer ganzer Zahlen an.