Proof of the hitherto undemonstrated fundamental theorem of invariants. (Q1553011)

Der Satz wartet seit länger als einem Vierteljahrhundert auf einen Beweis, und ein Beweis desselben wäre doch um so mehr nothwendig, als man vermuthet, dass der Satz zu falschen Schlüssen geführt hat. Er bildet die Grundlage der Untersuchungen im Anfang der zweiten Cayley'schen Abhandlung: ``On Quantics''. Man denke sich eine binäre Form \((a, b, c \dots l\widehat{)(}xy)^i\). Bildet man dann eine rationale Function der Elemente \(a,b,c,\dots l\), welche dem Werthe nach unverändert bleibt, wenn man für sie die Elemente einer neuen Form substituirt, die aus der ursprünglichen Form hervorgebt, indem man in ihr \(x+hy\) für \(x\) setzt, so heisst dieselbe ein ``Differentiant nach x'' der gegebenen Form. Unter einem Differentianten von gegebenem Gewicht \(w\) und der Ordnung \(j\) wird ein solcher verstanden, bei welchem in jedem Gliede die Combination der Elemente von der \(j^{\text{ten}}\) Ordnung und die Summe ihrer Gewichte \(w\) ist, wenn man die Gewichte der successiven Elemente rechnet als resp. 0 1 2 \(\dots i\). Der zu beweisende Satz ist dann der folgende : ``Die Zahl willkürlicher Constanten in dem allgemeinsten Ausdruck eines solchen Differentianten (von der Ordnung \(j\) und dem Gewicht \(w\)) ist gleich der Differenz zwischen der Zahl von Wegen, auf welchen \(w\) aus je \(j\) der ganzen Zahlen 0,1,2,3,\(\dots i\) (mit Wiederholungen) und der Zahl von Wegen, auf denen \(w-1\) aus denselben ganzen Zahlen gebildet werden kann.''